[논문 리뷰] Are There Sixth Order Three Dimensional PNS Hankel Tensors

Guoyin Li, Liqun Qi외 1명|arXiv (Cornell University)|2014. 11. 10.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 22인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 6차 3차원 하켈 텐서가 합의 제곱(SOS)이 아니지만 양의 준정부호(PSD)일 수 있는지 여부를 조사한다. 이는 PNS 텐서로 알려진 클래스이다. 주요 텐서 클래스의 분석적 고찰과 수천 개의 랜덤으로 생성된 PSD 하켈 텐서에 대한 광범위한 수치 실험을 통해 PNS 예제는 발견되지 않았으며, 이에 따라 이러한 텐서가 존재하지 않을 것이라는 추측이 제기되었다. 이는 이 클래스의 PSD 검출이 준정부호 프로그래밍(SDP)을 통해 다항시간 내에 해결 가능할 수 있음을 시사한다.

ABSTRACT

Are there positive semi-denite (PSD) but not sums of squares (SOS) Hankel tensors? If the answer to this question is "no", then the problem for determining an even order Hankel tensor is PSD or not can be solved in polynomial-time. By Hilbert, one of the cases of low order (degree) and dimension (number of variables), in which PSD non-SOS (PNS) symmetric tensors (homogeneous polynomials) exists, is of order six and dimension three. The famous Motzkin polynomial falls into this case. In this paper, we study the existence problem of sixth order three dimensional PNS Hankel tensors. We examine various important classes of sixth order three dimensional Hankel tensors. No PNS Hankel tensors are found in these cases. We then randomly generate several thousands of sixth order three dimensional Hankel tensors and make them PSD by adding adequate multiple of a xed sixth order three dimensional positive definite Hankel tensor. Again, still no PNS Hankel tensors are found. Thus, we make a conjecture that there are no sixth order three dimensional PNS Hankel tensors. If this conjecture turns out to be true, this implies that the problem for determining a given sixth order three dimensional Hankel tensor is PSD or not can be solved by a semi-definite linear programming problem.

연구 동기 및 목표

• 6차 3차원 하켈 텐서가 양의 준정부호(PSD)이지만 합의 제곱(SOS)이 아니라는 점, 즉 PNS 텐서가 존재하는지 여부를 판단하는 것.
• 이러한 PNS 하켈 텐서의 존재가 이 클래스의 PSD 검출 문제가 NP-난이도임을 의미하는지 탐구하는 것.
• 6차 3차원 하켈 텐서의 특정 클래스를 분석하여 PNS 행동을 조사하는 것.
• 수천 개의 랜덤으로 생성된 하켈 텐서를 통한 수치 실험을 통해 PNS 하켈 텐서가 존재하지 않는다는 추측을 검증하는 것.
• 준정부호 프로그래밍(SDP)을 통한 다항시간 내의 PSD 검출 문제 해결 가능성에 대한 평가

제안 방법

• 잠재적 PNS 예제를 식별하기 위해 6차 3차원 하켈 텐서의 구조적 클래스를 분석하는 것.
• PSD 및 SOS 성질을 테스트하기 위해 수천 개의 랜덤으로 생성된 6차 3차원 하켈 텐서를 생성하는 것.
• 랜덤으로 생성된 텐서를 PSD 쿨레로 조정하기 위해 고정된 양의 정부호 하켈 텐서를 적용하는 것.
• 준정부호 상태와 SOS 분해를 확인하기 위해 준정부호 프로그래밍을 적용하는 것.
• 모든 테스트된 텐서에 대해 PSD 및 SOS 조건을 체계적으로 비교하는 것.
• 모든 테스트 케이스에서 PNS 텐서가 발견되지 않은 사실에 기반해 추측을 수립하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 6차 3차원 하켈 텐서 중에서 양의 준정부호이지만 합의 제곱이 아닌(PNS) 예가 존재하는가?
• RQ2 이러한 PNS 하켈 텐서가 존재하지 않는다면, 이 클래스의 PSD 상태를 판단하는 문제가 다항시간 내에 해결 가능하다는 것을 의미하는가?
• RQ3 6차 차수와 3차원에서 PNS 대칭 텐서를 생성하는 데 사용되는 모츠킨 유형의 구성이 하켈 텐서 프레임워크에서 실현 가능한가?
• RQ4 하켈 텐서의 구조적 제약 조건이 이 특정 케이스에서 PNS 행동을 배제하는 데 충분한가?
• RQ5 수천 개의 랜덤으로 생성된 하켈 텐서를 통한 수치 실험은 이 클래스에서 PNS 텐서의 존재에 대한 강력한 경험적 증거를 제공할 수 있는가?

주요 결과

• 분석적으로 검토된 모든 구조적 하켈 텐서 클래스에서 6차 3차원 PNS 하켈 텐서는 발견되지 않았다.
• 고정된 양의 정부호 하켈 텐서를 더하여 PSD로 만든 수천 개의 랜덤으로 생성된 6차 3차원 하켈 텐서 중 어느 것도 PNS 행동를 보이지 않았다.
• 다양한 분석적 및 수치적 테스트 케이스에서 PNS 텐서가 없었기 때문에, 이러한 텐서가 이 클래스에 존재하지 않을 것이라는 추측을 지지하는 데에 기여했다.
• 결과는 6차 3차원 하켈 텐서의 양의 준정부호성은 준정부호 프로그래밍을 통해 검증 가능할 수 있음을 시사한다.
• 확인되면, 이는 이 텐서 클래스의 PSD 검출 문제가 다항시간 내에 해결 가능하다는 것을 의미한다.
• 결과는 6차 차수와 3차원에서 PNS 텐서에 대한 힐베르트의 고전적 결과와 일치하지만, 하켈 텐서 구조로 확장된 것이다.