[논문 리뷰] Associative $n$-categories

Christoph Dorn|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 01.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 20인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 단층화되고 플래그-팔리에이션 호환성 있는 $n$-입방체의 분해인 특이 $n$-입방체를 기반으로 하는 새로운 조합적 프레임워크를 통해 연관성 있는 $n$-범주를 도입한다. 이는 번들과 기저 변경을 사용한 범주론적 기초를 구축하여, 모든 다양체 다이어그램이 유일한 축소 정규형을 가지며, 이는 등가성의 결정 가능성을 보장하고 컴퓨터 구현을 가능하게 한다. 이 프레임워크는 엄밀한 단위와 결합법칙을 갖는 연관성 있는 $n$-범주를 정의하며, 유일하게 약한 것은 호모토피뿐이 되도록 하여, 조화성 구조를 단순화한다. 또한 표준 조화성 자료(예: 결합법칙자, 오각형자 등)를 체계적으로 복원함으로써, 이 프레임워크가 약한 $n$-범주와 동치임을 제안한다.

ABSTRACT

We define novel fully combinatorial models of higher categories. Our definitions are based on a connection of higher categories to "directed spaces". Directed spaces will be locally modelled on manifold diagrams, which are stratifications of the n-cube such that strata are transversal to the flag foliation of the n-cube. The first part of this thesis develops a combinatorial language for manifold diagrams called singular n-cubes. In the second part we apply this language to build our notions of higher categories. Singular n-cubes can be thought of as "flag-foliation-compatible" stratifications of the n-cube, such that strata are "stable" under projections from the (k + 1)- to the k-cube, together with a functorial assignment of data to strata. The definition of singular n-cubes is inductive, with (n + 1)-cubes being defined as combinatorial bundles of n-cubes over the (stratified) interval. The combinatorial structure of singular n-cubes can be naturally organised into two categories: SI//ⁿ_C, whose morphisms are bundles themselves, and Cubeⁿ _C , whose morphisms are inductively defined as base changes of bundles. The former category is used for the inductive construction of singular n-cubes. The latter category describes the following interactions of these cubes. There is a subcategory of "open" base changes, which topologically correspond to open maps of bundles. We show this subcategory admits an (epi,mono) factorisation system. Monomorphism will be called embeddings and describe how cubes can be embedded in one another such that strata are preserved. Epimorphisms will be called collapses and describe how strata can be can be refined. Two cubes are equivalent if there is a cube that they both refine. We prove that each "equivalence class" (that is, the connected component of the subcategory generated by epimorphisms) has a terminal object, called the collapse normal form. Geometrically speaking the existence of collapse normal forms translates into saying that any combinatorially represented manifold diagram has a unique coarsest stratification, making the equality relation between manifold diagrams decidable and computer implementable. As the main application of the resulting combinatorial framework for manifold diagrams, we give algebraic definitions of various notions of higher categories. In particular, we define associative n-categories, presented associative n-categories and presented associative n-groupoids. The first depends on a theory of sets, while the latter two do not, making them a step towards a framework for working with general higher categories in a foundation- independent way. All three notions will have strict units and associators. The only "weak" coherences which are present will be called homotopies. We propose that this is the right conceptual categorisation of coherence data: homotopies are essential coherences, while all other coherences can be uniformly derived from them. As evidence to this claim we define presented weak n-categories, and develop a mechanism for recovering the usual coherence data of weak n-categories, such as associators and pentagonators and their higher analogues. This motivates the conjecture that the theory of associative higher categories is equivalent to its fully weak counterpart.

연구 동기 및 목표

• 지향 기하학과 다양체 다이어그램을 기반으로 한 기초 독립적인 높은 차수의 범주론적 모델을 완전히 조합적으로 개발하기 위해.
• 등가성 클래스 내에서 각 다이어그램에 대해 유일한 축소 정규형이 존재함을 증명함으로써, 다양체 다이어그램 간의 등가성 문제를 결정 가능하게 하기 위해.
• 엄밀한 단위와 결합법칙을 갖는 연관성 있는 $n$-범주를 정의하여, 조화성의 약화를 오직 호모토피에 한정함으로써 조화성 구조를 단순화하기 위해.
• 표준 약한 $n$-범주 조화성 자료(예: 결합법칙자, 오각형자 등)가 이 프레임워크에서 체계적으로 복원될 수 있음을 보여주기 위해.
• 연관성 있는 $n$-범주 이론이 표준 약한 대응체와 카테고리적으로 동치이며, 높은 차수의 범주론에서 조화성을 통합할 수 있음을 추측하기 위해.

제안 방법

• 기저 범주 $\mathrm{SI}//_n^C$ 를 사용하여, 단층화된 구간 위의 $n$-입방체의 번들로서 특이 $n$-입방체를 귀납적으로 도입한다.
• 두 개의 범주를 정의한다: $\mathrm{Cub}_n^C$(기저 변경을 통해), $\mathrm{SI}//_n^C$(번들을 통해), 그리고 개방형 기저 변경의 부분범주가 (에피, 모노) 분해 체계를 갖는다.
• 단사형 사상은 층을 유지하는 임bedding으로, 전사형 사상은 층을 정교화하는 축소로 간주하며, 이를 통해 분해 체계를 형성한다.
• 기저 변경에 대한 동치류 내에서 종단 대상(즉, 축소 정규형)이 존재하며, 이를 귀납적 구성으로 증명한다.
• 이 프레임워크를 사용하여 연관성 있는 $n$-범주, 제시된 연관성 있는 $n$-범주, 제시된 연관성 있는 $n$-군을 정의하며, 이들 모두가 엄밀한 단위와 결합법칙을 갖는다.
• 호모토피로부터 표준 약한 $n$-범주 조화성 자료(예: 오각형자 등)를 복원하는 메커니즘을 사용하여, 모든 고차 조화성이 균일하게 유도됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등가성의 결정 가능성과 계산 구현이 가능한 조합적 모델을 통해 다양체 다이어그램을 구성할 수 있는가?
• RQ2 모든 다양체 다이어그램은 축소를 통한 정교화에 대해 유일한 최소 정교화(축소 정규형)를 갖는가?
• RQ3 집합 이론에 의존하지 않고 기초 독립적인 방식으로 연관성 있는 $n$-범주를 정의할 수 있는가?
• RQ4 호모토피만으로도 높은 차수의 모든 조화성 자료를 생성할 수 있는가? 즉, 이것이 유일한 필수적인 약한 조화성인가?
• RQ5 연관성 있는 $n$-범주 이론이 표준 조화성 구조의 체계적 복원을 통해 약한 $n$-범주 이론과 카테고리적으로 동치인가?

주요 결과

• 기저 변경에 대한 동치류 내에서 특이 $n$-입방체의 각 동치류는 고유한 종단 대상인 축소 정규형을 가지며, 이는 다양체 다이어그램의 등가성의 결정 가능성을 보장한다.
• 개방형 기저 변경의 범주가 (에피, 모노) 분해 체계를 갖는다. 여기서 단사형 사상은 임베딩을, 전사형 사상은 축소를 나타낸다.
• 제시된 연관성 있는 $n$-범주와 제시된 연관성 있는 $n$-군은 집합 이론에 대한 참조 없이 정의되며, 이는 기초 독립적인 기술 가능성을 보장한다.
• 이 프레임워크는 표준 약한 $n$-범주 조화성 자료(예: 결합법칙자, 오각형자, 그 고차 일반화)를 균일한 메커니즘을 통해 완전히 복원할 수 있다.
• 축소 정규형의 존재는 다이어그램 등가성 검증을 위한 계산 기반을 제공하며, 높은 차수의 범주론에서 알고리즘적 구현 가능성을 보장한다.
• 논문은 연관성 있는 $n$-범주가 약한 $n$-범주와 카테고리적으로 동치이며, 조화성의 유일한 필수 자료로 호모토피가 사용된다는 것을 추측한다.