[논문 리뷰] String Diagrams For Double Categories and Equipments

David Jaz Myers|arXiv (Cornell University)|2016. 12. 08.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 9인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 이중 범주와 장비에 대한 스트링 다이어그램 계산법을 도입하며, 그림적 추론을 통해 동반자와 쌍대동반자의 기본 결과를 확립한다. 동반자는 굽힘이 유지되는 유일한 동형사상에 대해 유일함을 증명하고, 스트링 다이어그램 계산법에서 진동형 항등식과 꺾임 항등식을 통해 동반자, 쌍대동반자, 수반 관계가 상호 정의 가능하다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

A popular graphical calculus for monoidal categories makes computations tactile and intuitive. Complicated diagram chases can be expressed in a few pictures and discovered by playing with a shoelace. Joyal and Street's proof of the soundness of this calculus says that any deformation of a diagram, any bending of the strings, describes the same morphism. In this paper, we extend the graphical calculus to double categories and proarrow equipments in order to bring the string diagrammatic method to formal category theory. Our main theorem proves this calculus sound with the help of Dawson and Pare's results on composition in double categories.

연구 동기 및 목표

• 이중 범주와 장비에 대한 일관된 스트링 다이어그램 계산법을 개발하기 위해.
• 프로모르포리즘 2-범주에서 동반자, 쌍대동반자, 수반 관계 간의 관계를 체계화하기 위해.
• 굽힘 연산과 가환하는 동형사상에 의해 동반자가 고유하게 유일함을 증명하기 위해.
• 프로모르포리즘 범주에서 동반자/쌍대동반자 구조와 왼쪽 수반 관계 간의 동치성을 확립하기 위해.
• 굽힘 및 꺾임 연산을 사용한 스트링 다이어그램 증명을 통해 진동형 항등식을 제시하기 위해.

제안 방법

• 이중 범주 내의 1-모르피즘, 2-셀 및 그들의 합성 표현을 위해 스트링 다이어그램을 사용한다.
• 수반 관계로부터 단위와 쌍위를 정의하기 위해 굽힘 연산을 적용한다.
• 동반자 간의 동형사상이 굽힘과 가환하기 위한 조건을 확인하기 위해 꺾임 항등식을 활용한다.
• 스트링 다이어그램 계산법에서 스트링을 곧게 펴는 방식으로 진동형(삼각형) 항등식을 적용한다.
• 수반 관계의 꺾임 항등식을 사용하여 구성된 셀이 요구 조건을 만족하는지 검증한다.
• 그림적 대칭성을 통해 동반자 구조가 왼쪽 수반 관계로부터 자연스럽게 유도됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스트링 다이어그램은 이중 범주에서 동반자와 쌍대동반자를 어떻게 추론하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ2 주어진 모르피즘의 두 동반자가 굽힘 구조를 존중하는 방식으로 동형이 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 프로모르포리즘 2-범주에서 동반자, 쌍대동반자, 왼쪽 수반 관계는 어느 정도 상호 정의 가능한가?
• RQ4 스트링 다이어그램 증명에서 꺾임 항등식과 진동형 항등식은 어떻게 상호작용하는가?
• RQ5 동형사상은 어떤 방식으로 동반자의 고유성 보장에 기여하는가?

주요 결과

• 모르피즘의 동반자는 굽힘이 유지되는 유일한 동형사상에 대해 고유하게 유일하다.
• 두 동반자 간의 동형사상이 굽힘과 가환하기는 그가 꺾임 항등식을 만족할 때이고, 그 때에만 성립한다.
• 모르피즘이 동반자와 쌍대동반자를 모두 갖는다면, 그 모표는 프로모르포리즘 2-범주에서 왼쪽 수반 관계이다.
• 반대로, 모르피즘이 왼쪽 수반 관계이면, 그 오른쪽 수반은 쌍대동반자 및 동반자 구조를 실현한다.
• 수반 관계의 진동형 항등식은 스트링 다이어그램 계산법에서 스트링을 곧게 펴는 것으로 직접 유도된다.
• 수반 관계의 꺾임 항등식은 동반자 간의 동형사상이 굽힘과 가환하도록 보장한다.