[논문 리뷰] Asymmetric butterfly velocities in Hamiltonian and circuit models

Charles Stahl, Vedika Khemani외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 13.

Quantum many-body systems참고 문헌 37인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 삼점 상호작용을 가진 국소적이고 시간에 의존하지 않는 해밀토니안과 n-계단 유니터리 회로의 클래스라는 두 가지 모델을 제시하며, 양방향 공간 방향에서 양자 정보가 다른 속도로 확장되는 비대칭 버터플라이 속도를 나타낸다. 주요 기여는 이러한 비대칭성이 해밀토니안 및 회로 시스템 양쪽 모두에서 가능하다는 것을 보여주는 것으로, 후자는 대칭에서 완전히 비대칭(단방향) 정보 전파로의 조절 가능성을 제공한다.

ABSTRACT

The butterfly velocity $v_B$ has been proposed as a characteristic velocity for information propagation in local systems. It can be measured by the ballistic spreading of local operators in time (or, equivalently, by out-of-time-ordered commutators). In general, this velocity can depend on the direction of spreading and, indeed, the asymmetry between different directions can be made arbitrarily large using arbitrarily deep quantum circuits. Nevertheless, in almost all examples of local time-independent Hamiltonians that have been examined thus far, this velocity is independent of the direction of information propagation. In this work, we present two models with asymmetric $v_B$. The first is a time-independent Hamiltonian in one dimension with local, 3-site interactions. The second is a class of local unitary circuits, which we call $n$-staircases, where $n$ serves as a tunable parameter interpolating from $n=1$ with symmetric spreading to $n=\infty$ with completely chiral information propagation.

연구 동기 및 목표

• 국소적이고 시간에 의존하지 않는 해밀토니안 시스템에서 양자 정보가 서로 다른 방향으로 다른 속도로 확장될 수 있음을 보여주는 것.
• 1차원에서 국소적인 삼점 상호작용을 가지며, 버터플라이 속도에서 방향 대칭성이 깨지는 모델을 구성하는 것.
• 대칭적이고 완전히 비대칭(단방향) 정보 전송 사이를 연결하는 n-계단 유니터리 회로의 가족을 도입하는 것.
• 국소성 제약 조건이 정보 전파의 비대칭 정도에 미치는 영향을 조사하는 것.
• 양자 역학적 동역학에서 연산자 확장, 얽힘 증가와 방향 비대칭성 간의 관계를 탐색하는 것.

제안 방법

• 방향 대칭성이 연산자 확장에서 깨지는 1차원 국소적이고 시간에 의존하지 않는 해밀토니안을 구성하는 것.
• n-계단이라 불리는 플로케-type 유니터리 회로의 클래스를 정의하며, 회로 아키텍처가 정보 전파의 방향 비대칭성을 강제하는 방식으로 설계하는 것.
• 시간과 공간 진동에서 버터플라이 속도를 측정하기 위해 비순서공간의 교환관계(OTOC)를 사용하는 것.
• 얽힘 기울기와 게이트 유도 얽힘 생성 기반의 군집화 근사법을 사용하여 성장률을 예측하는 것.
• 큰 n 또는 시스템 크기 L의 극한에서 시스템의 점근적 행동을 분석하여 n=∞일 때 정확한 비대칭 전파가 이루어지는지 확인하는 것.
• 특정 엔트로피 기울기(s = -1, 0, 1)에서 정확한 계산을 통해 예측값을 검증하고, 볼록성에 기반해 전체 성장률 함수를 유추하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 국소적이고 시간에 의존하지 않는 해밀토니안에서, 서로 반대 방향으로 정보가 다른 속도로 확장되는 비대칭 버터플라이 속도를 나타낼 수 있는가?
• RQ2 국소 양자 회로 모델 내에서 버터플라이 속도의 비대칭성을 제어적으로 조절할 수 있는 정도는 어느 정도인가?
• RQ3 회로 아키텍처의 구조—특히 n-계단 설계—는 정보 전파의 방향성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 얽힘 증가율과 양자 연산자의 방향 의존적 확장 간의 관계는 무엇인가?
• RQ5 입자 통계에 의존하지 않고 국소 양자 시스템에서 완전히 비대칭(단방향) 정보 전파를 달성할 수 있는가?

주요 결과

• 1차원에서 삼점 상호작용을 가지는 국소적 해밀토니안은 서로 다른 왼쪽과 오른쪽 전파 속도를 가지며 비대칭 버터플라이 속도를 나타낸다.
• n-계단 회로 모델은 n이 증가함에 따라 대칭에서 완전히 비대칭 정보 전파로의 연속적인 조절이 가능하다.
• n=∞의 극한에서, 시스템은 완벽한 비대칭 전파를 달성하며, v_B,l = γ 이고 v_B,r = ∞ 로서 단방향 확장에 해당한다.
• s = -1, 0, 1에서 예측된 엔트로피 성장률과 시뮬레이션 결과 간에 정확한 일치가 확인되어 군집화 근사의 타당성을 입증한다.
• 정확한 볼록성과 경계 기울기에서의 정확한 계산에 기반해 엔트로피 성장률 함수는 정확히 Γ_∞(s) = γ(s+1) 로 유도된다.
• 이 모델들은 입자 통계가 고정되어 있을 때조차도 버터플라이 속도의 비대칭성이 가능하다는 것을 보여주며, 이는 이전의 anyonic 통계에 기반한 연구들과의 차별성을 나타낸다.