[논문 리뷰] Asymptotic behavior of CLS estimators for unstable INAR(2) models

Mátyás Barczy, Márton Ispány외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 02. 08.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 33인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 불안정한 INAR(2) 과정에 대한 조건부 최소제곱(CLs) 추정량의 점점 더 커지는 분포를 규명하며, 과정의 구조적 특성에 따라 세 가지의 구분되는 극한 행동을 식별한다: 분해 가능한, 분해 불가능하지만 양의 정규성이 아닌, 그리고 양의 정규성 있는 모델. 주요 기여는 약한 수렴을 통해 제곱 베스엘 과정(즉, 코크스-잉거솔-로즈 과정)으로 수렴함으로써, 고전적인 AR(1) 단위근의 점근적 이론과는 다름없는 비표준 극한 분포를 유도한 것이다.

ABSTRACT

In this paper the asymptotic behavior of the conditional least squares estimators of the autoregressive parameters $(α,β)$, of the stability parameter $\varrho := α+ β$, and of the mean $μ$ of the innovation $\vare_k$, $k \in \NN$, for an unstable integer-valued autoregressive process $X_k = α\circ X_{k-1} + β\circ X_{k-2} + \vare_k$, $k \in \NN$, is described. The limit distributions and the scaling factors are different according to the following three cases: (i) decomposable, (ii) indecomposable but not positively regular, and (iii) positively regular models.

연구 동기 및 목표

• 불안정한 INAR(2) 과정에서 자기회귀 계수, 안정성 파라미터 ϱ = α + β, 그리고 오차항 평균 μ에 대한 조건부 최소제곱(CLs) 추정량의 점근적 행동을 규명하는 것.
• 분해 가능, 분해 불가능하지만 양의 정규성이 아닌, 그리고 양의 정규성 있는 모델의 세 가지 구조적 영역에서 CLs 추정량의 구분되는 극한 분포를 식별하는 것.
• 안정한 INAR(p) 모델에 대한 기존 점근적 이론을 불안정(단위근) 경우, 특히 p=2의 경우로 확장하는 것.
• 스케일링된 랜덤 스텝 과정이 제곱 베스엘 과정(Cox–Ingersoll–Ross 과정)으로 약한 수렴함을 증명하는 것 — 이는 이민을 동반한 연속시간 분열 과정이다.
• 비판적 다형 분열 과정과 불안정한 정수값 시계열 모델에서의 점근적 추론을 위한 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• INAR(2) 모델에서 자기회귀 계수 (α, β), 안정성 파라미터 ϱ = α + β, 그리고 오차항 평균 μ에 대한 조건부 최소제곱(CLs) 추정을 수행한다: X_k = α∘X_{k-1} + β∘X_{k-2} + ε_k.
• 불안정한 영역에서 INAR(2) 과정으로부터 생성된 스케일링된 랜덤 스텝 과정이 제곱 베스엘 과정(Cox–Ingersoll–Ross 과정)으로 약한 수렴함을 적용한다.
• 마팅게일 차이 배열과 기능 중심극한정리 기법을 활용하여 추정량 과정의 약한 수렴을 도출한다.
• 자기회귀 다항식의 스펙트럼 성질에 기반해 극한 행동을 분류한다: 분해 가능, 분해 불가능하지만 양의 정규성이 아닌, 또는 양의 정규성 있는 경우.
• 시간이 변화된 마팅게일 증분을 갖는 확률과정에 대한 기능적 극한정리(정리 C.1)를 적용하여 확산 과정으로의 수렴을 증명한다.
• 표본 공분산과 분산 통계량의 수렴을 활용하여, 다양한 구조적 가정 하에서 CLs 추정량의 극한 분포를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불안정한 INAR(2) 과정에서 자기회귀 계수 (α, β)에 대한 CLs 추정량의 점근적 분포는 무엇인가요?
• RQ2 안정성 파라미터 ϱ = α + β에 대한 CLs 추정량의 극한 분포는 분해 가능, 분해 불가능하지만 양의 정규성이 아닌, 그리고 양의 정규성 있는 세 영역에서 어떻게 다릅니까?
• RQ3 불안정한 INAR(2) 모델에서 오차항 평균 μ에 대한 CLs 추정량의 극한 행동은 무엇입니까?
• RQ4 불안정한 INAR(2) 모델에서 CLs 추정량의 스케일링 인자와 극한 분포는 고전적인 불안정한 AR(1) 모델과 비교해 어떻게 다릅니까?
• RQ5 불안정 조건 하에서 INAR(2) 과정의 스케일링된 경로가 제곱 베스엘 과정으로 약한 수렴하는 것이 엄밀하게 증명될 수 있습니까?

주요 결과

• 분해 가능한 불안정한 INAR(2) 모델에서는 (α, β)와 ϱ의 CLs 추정량이 비퇴화된 극한 분포로 수렴하며, 이는 과정의 공동 행동에 따라 달라지며 정규분포가 아니다.
• 분해 불가능하지만 양의 정규성이 아닌 경우, ϱ에 대한 CLs 추정량의 극한 분포는 비표준이며, 베스엘 과정에 대한 확률적 적분의 비율을 포함한다.
• 양의 정규성 있는 모델에서는 안정성 파라미터 ϱ에 대한 CLs 추정량이 ∫₀¹ W_t dW_t / ∫₀¹ W_t² dt 형태의 확률적 적분 비율을 포함하는 분포로 수렴하며, 이는 이산시간 정수값 설정에서 딕키-풀러 통계량과 유사하다.
• 오차항 평균 μ에 대한 CLs 추정량은 √n 스케일링을 통해 점근적으로 정규분포를 따르며, 표준 점근적 이론과 일치한다.
• INAR(2) 과정으로부터 생성된 스케일링된 랜덤 스텝 함수의 극한 과정은 제곱 베스엘 과정(Cox–Ingersoll–Ross 과정)이며, 이는 약한 수렴 결과를 확인한다.
• 극한 분포는 고전적인 불안정한 AR(1) 모델의 것과 근본적으로 다르며, 특히 분해 가능 및 분해 불가능한 경우에서 INAR(2) 과정의 이산성과 희박한 尾를 지닌 오차항의 특성으로 인해 그러하다.