[논문 리뷰] Asymptotic expansions for profiles of lattice branching random walks

Rudolf Grübel, Zakhar Kabluchko|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 16.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 24인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 ℤ 위의 격자 분열 랜덤 워크의 프로파일에 대해 균일한 거의 확실한 점근 전개를 수립한다. 시간 n에서 위치 k에서 입자 수 $ L_n(k) $ 는 누적모멘트 생성함수 $ \varphi $ 와 Biggins 마팅게일을 포함하는 가우시안 유형 전개로 표현된다. 이 전개는 모든 $ k \in \mathbb{Z} $ 에 대해 균일하게 성립하며, 프로파일의 모드, 높이, 점유 수에 대한 새로운 거의 확실한 극한 정리들을 가능하게 한다.

ABSTRACT

Consider a branching random walk on $\mathbb Z$ in discrete time. Denote by $L_n(k)$ the number of particles at site $k\in\mathbb Z$ at time $n\in\mathbb N_0$. By the profile of the branching random walk (at time $n$) we mean the function $k\mapsto L_n(k)$. We establish the following asymptotic expansion of $L_n(k)$, as $n o\infty$: $$ e^{-\varphi(0)n} L_n(k) = \frac{e^{-\frac 12 x_n^2}}{\sqrt {2\pi \varphi''(0) n}} \sum_{j=0}^r \frac{F_j(x_n)}{n^{j/2}} + o(n^{-\frac{r+1}{2}}) ext{ a.s.}, $$ where $r\in\mathbb N_0$ is arbitrary, $\varphi(\beta)=\log \sum_{k\in\mathbb Z} e^{\beta k} \mathbb E L_1(k)$ is the cumulant generating function of the intensity of the branching random walk and $$ x_n = x_n(k) = \frac{k-\varphi'(0) n}{\sqrt{\varphi''(0)n}}. $$ The expansion is valid uniformly in $k\in\mathbb Z$ with probability $1$ and the $F_j$'s are polynomials whose random coefficients can be expressed through the derivatives of $\varphi$ and the derivatives of the limit of the Biggins martingale at $0$. Using exponential tilting, we establish also more general expansions covering the whole range of the branching random walk except its extreme values. As an application of this expansion for $r=0,1,2$ we recover in a unified way a number of known results and establish many new limit theorems. In particular, we study the a.s. behavior of the individual occupation numbers $L_n(k_n)$, where $k_n\in\mathbb Z$ depends on $n$ in some regular way. We also prove a.s. limit theorems for the mode $ ext{argmax}_{k\in\mathbb Z} L_n(k)$ and the height $ ext{max}_{k\in\mathbb Z} L_n(k)$ of the profile. The asymptotic behavior of these quantities depends on whether the drift parameter $\varphi'(0)$ is integer, non-integer rational, or irrational. Applications of our results to profiles of random trees including binary search trees and random recursive trees will be given in a separate paper.

연구 동기 및 목표

• 분열 랜덤 워크의 프로파일 $ L_n(k) $ 에 대해 균일한 거의 확실한 점근 전개를 유도하는 것.
• 최대 점유 수 $ \max_k L_n(k) $ 와 모드 $ \arg\max_k L_n(k) $ 의 거의 확실한 행동을 $ n \to \infty $ 일 때 특성화하는 것.
• 이동 매개변수 $ \varphi'(0) $ — 정수, 유리수 비정수, 또는 무리수 — 가 프로파일의 극단적 특성의 점근적 행동에 미치는 영향을 분석하는 것.
• 지수 기울임을 사용하여 전개를 중심 극한 영역을 초월해 전체 분열 랜덤 워크 범위로 확장하는 것, 극단적 값들을 제외하고.
• 정규적인 $ k_n $-의존성에 따라 점유 수 $ L_n(k_n) $ 에 대한 기존 극한 정리들을 통합 및 일반화하는 것.

제안 방법

• 누적모멘트 생성함수 $ \varphi(\beta) = \log \sum_k e^{\beta k} \mathbb{E} L_1(k) $ 를 사용하여 $ e^{-\varphi(0)n} L_n(k) $ 의 점근 전개를 유도하는 것.
• 가우시안 밀도를 닮은 정규화된 위치 변수 $ x_n = \frac{k - \varphi'(0)n}{\sqrt{\varphi''(0)n}} $ 를 사용하여 전개를 표현하는 것.
• Biggins 마팅게일의 $ \beta = 0 $ 에서의 극한과 그 도함수를 사용하여 다항식 전개의 랜덤 계수 $ F_j(x_n) $ 를 정의하는 것.
• 지수 기울임을 적용하여 중심 극한 영역을 초월해 전체 $ k $ 의 범위를 포함하도록 점근 전개를 확장하는 것.
• 모든 $ k \in \mathbb{Z} $ 에 대해 균일하게 성립하는 거의 확실한 수렴을 확립하며, 이는 고정된 $ r \in \mathbb{N}_0 $ 에 대해 유효하다.
• 전개를 활용하여 모드, 높이, 개별 점유 수 $ L_n(k_n) $ 에 대한 거의 확실한 극한 정리를 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $ k \in \mathbb{Z} $ 에 대해 $ n \to \infty $ 일 때 프로파일 $ L_n(k) $ 는 어떻게 점근적으로 행동하는가?
• RQ2 최대 점유 수 $ \max_k L_n(k) $ 는 거의 확실하게 어떻게 점근적으로 행동하는가? 이는 이동 $ \varphi'(0) $ 에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 모드 $ \arg\max_k L_n(k) $ 는 거의 확실하게 $ n \to \infty $ 일 때 어떻게 진화하는가? $ \varphi'(0) $ 의 유리성은 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 점근 전개를 중심 범위를 초월해 전체 프로파일, 즉 꼬리 부분까지 확장할 수 있는가?
• RQ5 만약 $ k_n $ 이 $ n $ 과 함께 규칙적으로 증가한다면, 점유 수 $ L_n(k_n) $ 는 거의 확실하게 어떻게 행동하는가?

주요 결과

• 프로파일 $ L_n(k) $ 는 균일한 거의 확실한 점근 전개를 갖는다: $ e^{-\varphi(0)n} L_n(k) = \frac{e^{-\frac{1}{2}x_n^2}}{\sqrt{2\pi \varphi''(0)n}} \sum_{j=0}^r \frac{F_j(x_n)}{n^{j/2}} + o(n^{-(r+1)/2}) $, 모든 $ r \in \mathbb{N}_0 $ 에 대해 유효하다.
• 이 전개는 거의 확실하게 모든 $ k \in \mathbb{Z} $ 에 대해 균일하게 성립하며, 계수 $ F_j $ 는 Biggins 마팅게일과 $ \varphi $ 에서 유도된 랜덤 계수를 갖는 다항식이다.
• $ r = 0,1,2 $ 일 때, 전개는 기존의 점유 수 극한 정리들을 복원하고 통합하며, 모드와 프로파일의 높이에 대한 새로운 거의 확실한 극한 정리를 가능하게 한다.
• 최대값 $ \max_k L_n(k) $ 와 모드 $ \arg\max_k L_n(k) $ 의 거의 확실한 행동은 $ \varphi'(0) $ 가 정수, 유리수 비정수, 또는 무리수이냐에 따라 결정된다.
• 지수 기울임을 사용하여 전개는 극단적 꼬리 부분을 제외한 전체 $ k $ 의 범위로 확장된다.
• 결과들은 이진 탐색 트리 및 무작위 재귀 트리와 같은 무작위 트리의 프로파일 분석을 위한 기초를 제공하며, 향후 논문에서 응용을 개발할 예정이다.