[논문 리뷰] Asymptotic Independence ex machina -- Extreme Value Theory for the Diagonal BEKK-ARCH(1) Model

Sebastian Mentemeier, Olivier Wintenberger|arXiv (Cornell University)|2019. 07. 24.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 대각형 BEKK-ARCH(1) 및 관련된 SRE 모델에서, 동일한 주도 혁신을 공유함에도 불구하고 서로 다른 尾모수를 가진 성분들이 극단적 값에서 渐近적 독립성을 띠게 된다는 것을 입증한다. 벡터 스케일링 정규변동성을 사용하여, 尾모수가 다를 경우 극단적 의존성이 사라짐을 증명한다. 이는 혁신의 구조에서 완전한 의존성에도 불구하고 성립한다.

ABSTRACT

We consider multivariate stationary processes $(\boldsymbol{X}_t)$ satisfying a stochastic recurrence equation of the form $$ \boldsymbol{X}_t= \mathbb{ M}_t \boldsymbol{X}_{t-1} + \boldsymbol{Q}_t,$$ where $(\boldsymbol{Q}_t)$ are iid random vectors and $$ \mathbb{M}_t=\mathrm{Diag}(b_1+c_1 M_t, \dots, b_d+c_d M_t) $$ are iid diagonal matrices and $(M_t)$ are iid random variables. We obtain a full characterization of the multivariate regular variation properties of $(\boldsymbol{X}_t)$, proving that coordinates $X_{t,i}$ and $X_{t,j}$ are asymptotically independent even though all coordinates rely on the same random input $(M_t)$. We describe extremal properties of $(\boldsymbol{X}_t)$ in the framework of vector scaling regular variation. Our results are applied to some multivariate autoregressive conditional heteroskedasticity (BEKK-ARCH and CCC-GARCH) processes.

연구 동기 및 목표

• 공통 주도 혁신을 가진 다변량 스토케스틱 재귀방정식(SRE)의 다변량 정규변동성 특성을 기술하기.
• 모수의 尾모수가 서로 다를 때, GARCH 유형의 다변량 모델에서 성분들의 공동 극단적 행동을 조사하기.
• 동일한 혁신에 의존하는 성분들이 극단적으로 渐近적 독립성을 나타낼 수 있다는 역설을 해결하기.
• 비표준 극단적 의존성을 모델링하기 위해 벡터 스케일링 정규변동성(VSRV)을 정적 마코프 체인으로 확장하기.
• 금융 시계열에서 위기 시 서로 다른 리스크 프로파일을 가진 이질적인 꼬리 행동을 이론적으로 기반화하기.

제안 방법

• 독립 동일분포인 $M_t$를 가진 $\mathbb{M}_t = \mathrm{Diag}(b_1 + c_1 M_t, \dots, b_d + c_d M_t)$를 갖는 대각형 SRE 모델 $\boldsymbol{X}_t = \mathbb{M}_t \boldsymbol{X}_{t-1} + \boldsymbol{Q}_t$ 분석.
• Kesten-Goldie 정리를 적용하여 $\mathbb{E}[|b_i + c_i M_0|^{\alpha_i}] = 1$ 를 만족하는 모수 $\alpha_i$ 를 유도.
• 비표준 정규변동성을 파레토 유사 모수를 위해 대체하는 벡터 스케일링 정규변동성(VSRV)을 사용하여 공동 꼬리 행동 기술.
• 모수 $\alpha_1$ 기반의 기울인 측도 하에서 재귀적 동역학 $\widetilde{\boldsymbol{\Theta}}_t = \mathbb{M}_t \widetilde{\boldsymbol{\Theta}}_{t-1}$ 를 통해 스펙트럼 꼬리 과정 $\widetilde{\boldsymbol{\Theta}}_t$ 유도.
• Hoeffding의 보조정리와 모멘트 생성함수의 경계를 사용하여 극단적 영역에서 마팅게일 유사 수열의 지수적 감소를 증명.
• 모수 $\alpha_1 > \alpha_2$ 일 때 $\mathbb{P}(X_{0,1} > x^{1/\alpha_1} \mid X_{0,2} > x^{1/\alpha_2}) \to 0$ 를 보여줌으로써 渐近적 독립성 입증.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 동일한 주도 혁신을 공유하는 다변량 SRE 모델의 성분들이 극단적 값에서 渐近적 독립성을 나타낼 수 있는가?
• RQ2 대각형 BEKK-ARCH(1) 과정에서 성분들의 공동 극단적 행동은 $b_i, c_i$ 와 尾모수 $\alpha_i$ 의 상대적 크기에 어떻게 의존하는가?
• RQ3 모수의 尾모수가 다를 경우, 벡터 스케일링 정규변동성(VSRV)이 극단적 의존성을 기술하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 스펙트럼 벡터 $\widetilde{\boldsymbol{\Theta}}_0$ 가 축에 집중될 조건은 무엇인가, 이는 渐近적 독립성을 나타낸다.
• RQ5 비.i.i.d. 대각형 계수와 서로 다른 尾모수를 가진 SRE에 대해 스펙트럼 꼬리 과정을 어떻게 기술할 수 있는가?

주요 결과

• 만약 $c_2/c_1 > b_2/b_1 \geq 1$ 이고 $c_1 > 0$ 이면, 성분 $X_{0,1}$ 과 $X_{0,2}$ 는 渐近적 독립성을 띠며, $\lim_{x\to\infty} \mathbb{P}(X_{0,1} > x^{1/\alpha_1} \mid X_{0,2} > x^{1/\alpha_2}) = 0$ 이다.
• 스펙트럼 벡터 $\widetilde{\boldsymbol{\Theta}}_0$ 는 거의 확실하게 $\{(1,0), (0,1)\}$ 에 속해 있으며, 이는 이원 분포에서 渐近적 독립성을 확인한다.
• 조직 $Q_{1,t} = Q_{2,t}$ 를 공유하더라도, 서로 다른 尾모수 $\alpha_1 \neq \alpha_2$ 로 인해 성분들은 여전히 渐近적 독립성을 유지한다.
• 모델는 벡터 스케일링 정규변동성(VSRV)을 나타내며, 이는 동일한 혁신 입력에도 불구하고 비표준 극단적 의존성 구조를 허용한다.
• 모수 $\alpha_i = \alpha_j$ 일 경우, 스펙트럼 벡터는 비퇴화된 지지집합을 가질 수 있어 가능한 극단적 의존성을 나타낸다.
• 증명은 $\alpha_1$ 기반 기울인 측도 하에서 $\Delta W_k = \log((b_2 + c_2 M_k)/(b_1 + c_1 M_k))$ 의 모멘트 생성함수를 경계함으로써, 이 값이 0으로 수렴함을 보여준다.