[논문 리뷰] Asymptotic of densities of exponential functionals of subordinators

Martin Minchev, Mladen Savov|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 12.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 35인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 레비 측도에 대한 양의 증가 조건 하에서, 하향, 밀도, 그리고 도함수의 지수 함수 기반 기댓값에 대한 비고전적 타우버형 점근적 성질을 수립한다. 멕스웰-트랜스폼을 베르슈타인-감마 함수로 표현한 삼각법적 방법을 정교화하여 정확한 점근적 행동을 도출하며, 이는 비감소 복합 포아송 과정의 지수 함수 기반 기댓값의 밀도가 지수 분포의 밀도와 일치함을 보여주고, 이러한 밀도의 많은 경우가 복소수 콘 안에서 해석적임을 나타낸다.

ABSTRACT

In this paper we derive non-classical Tauberian asymptotic at infinity for the tail, the density and the derivatives thereof of a large class of exponential functionals of subordinators. More precisely, we consider the case when the Levy measure of the subordinator satisfies the well-known and mild condition of positive increase. This is achieved via a convoluted application of the saddle point method to the Mellin transform of these exponential functionals which is given in terms of Bernstein-gamma functions. To apply the saddle point method we improved the Stirling type of asymptotic for Bernstein-gamma functions and the latter is of interest beyond this paper as the Bernstein-gamma functions are applicable in different settings especially through their asymptotic behaviour in the complex plane. As an application we have derived the asymptotic of the density and its derivatives for all exponential functionals of non-decreasing, potentially compound Poisson processes which turns out to be precisely as that of an exponentially distributed random variable. We show further that a large class of densities are even analytic in a cone of the complex plane.

연구 동기 및 목표

• 지수 함수 기반 기댓값의 尾, 밀도, 그리고 도함수에 대한 점근 전개를 유도하는 것.
• 레비 측도에 대한 양의 증가 조건 하에서 무한대에서 비고전적 타우버 정리를 수립하는 것.
• 메릴린 변환에 포함된 베르슈타인-감마 함수에 대해 삼각법적 방법의 적용 범위를 확장하는 것.
• 해당 밀도의 복소 평면에서의 해석적 성질을 특성화하는 것.
• 비감소 복합 포아송 과정의 지수 함수 기반 기댓값이 지수형 꼬리 감쇠를 보이는지 보여주는 것.

제안 방법

• 지수 함수 기반 기댓값의 메릴린 변환에 삼각법적 방법을 적용하며, 이는 베르슈타인-감마 함수로 표현된다.
• 복소 평면에서의 베르슈타인-감마 함수에 대한 정교화된 스틸링 타입 점근적 전개를 개발하는 것.
• 레비 측도에 대한 양의 증가 조건을 활용하여 점근적 행동의 규칙성을 확보하는 것.
• 역 메릴린 변환을 평가하기 위해 해석적 계속 및 경로 변형 기법을 사용하는 것.
• 서브오르디네이터의 구조와 라플라스 지수의 성질을 활용하여 밀도의 점근적 성질을 도출하는 것.
• 삼각법적 전개의 균일한 경계를 통한 복소 평면의 영역에서의 밀도 해석성 검증.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레비 측도에 대한 미약한 조건 하에서, 서브오르디네이터의 지수 함수 기반 기댓값의 꼬리와 밀도는 어떻게 무한대에서 점근적으로 행동하는가?
• RQ2 삼각법적 방법은 베르슈타인-감마 함수를 포함하는 메릴린 변환에 얼마나 잘 적응될 수 있는가?
• RQ3 비감소 복합 포아송 과정의 지수 함수 기반 기댓값에 대한 밀도와 그 도함수의 정확한 점근적 형태는 무엇인가?
• RQ4 해당 함수의 밀도는 복소 평면의 어느 영역에서 해석적인가?
• RQ5 이러한 밀도의 점근적 행동은 지수 분포와 동치로 간주될 수 있는가?

주요 결과

• 비감소 복합 포아송 과정의 지수 함수 기반 기댓값의 밀도와 그 도함수는 지수 분포의 랜덤 변수와 동일한 점근적 행동을 보인다.
• 베르슈타인-감마 함수를 통한 메릴린 변환의 점근적 전개는 복소 평면에서 정밀한 스틸링 타입 근사로 확장된다.
• 삼각법적 방법은 꼬리와 밀도에 대한 정밀한 점근적 전개를 도출할 수 있으며, 고차 도함수의 경우에도 적용 가능하다.
• 지수 함수 기반 기댓값에서 유도된 많은 밀도들이 복소 평면의 한 부문(콘)에서 해석적이며, 이는 강력한 규칙성을 나타낸다.
• 레비 측도에 대한 양의 증가 조건은 고려된 모든 서브오르디네이터 클래스에서 유도된 점근적 성질의 타당성을 보장하는 데 충분하다.
• 결과는 고전적 타우버 이론을 초월하여, 자가분해 가능한 분포의 넓은 클래스에 대해 비고전적 점근적 결과를 제공한다.