[논문 리뷰] Asymptotic properties of maximum likelihood estimator for the growth rate for a jump-type CIR process based on continuous time observations

Mátyás Barczy, Mohamed Ben Alaya외 2명|SZTE Publicatio Repozitórium (University of Szeged)|2016. 09. 19.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 39인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 연속 시간 관측 기반으로 위너 과정과 서브도미네이터에 의해 구동되는 점프 유형의 코크스-잉거솔-로우스(Cox–Ingersoll–Ross, CIR) 과정에서 성장률 파라미터 $ b $에 대한 최대우도추정량(MLE)의 점근적 성질을 수립한다. 하한비율 케이스($ b > 0 $)에서는 약한 일致성과 점근 정규성을 도출하였고, 초한비율 케이스($ b < 0 $)에서는 강한 일치성과 혼합 정규 점근 행동을 보였으며, 임계 케이스($ b = 0 $)에서는 비표준 행동을 보였다. 특히 초한비율 영역에서의 극한 분포에 대해 새로운 확률적 표현을 제시하였다.

ABSTRACT

We consider a jump-type Cox--Ingersoll--Ross (CIR) process driven by a standard Wiener process and a subordinator, and we study asymptotic properties of the maximum likelihood estimator (MLE) for its growth rate. We distinguish three cases: subcritical, critical and supercritical. In the subcritical case we prove weak consistency and asymptotic normality, and, under an additional moment assumption, strong consistency as well. In the supercritical case, we prove strong consistency and mixed normal (but non-normal) asymptotic behavior, while in the critical case, weak consistency and non-standard asymptotic behavior are described. We specialize our results to so-called basic affine jump-diffusions as well. Concerning the asymptotic behavior of the MLE in the supercritical case, we derive a stochastic representation of the limiting mixed normal distribution, where the almost sure limit of an appropriately scaled jump-type supercritical CIR process comes into play. This is a new phenomenon, compared to the critical case, where a diffusion-type critical CIR process plays a role.

연구 동기 및 목표

• 연속 시간 관측 하에서 점프 유형 CIR 과정의 성장률 파라미터 $ b $에 대한 최대우도추정량(MLE)의 점근적 행동을 연구한다.
• 서브도미네이터를 통한 점프 동역학을 포함하여 기존 MLE 점근 이론을 확장함으로써, 고전적 확산 유형 CIR 과정을 일반화한다.
• 세 가지 상이한 케이스—하한비율($ b > 0 $), 임계($ b = 0 $), 초한비율($ b < 0 $)—를 분석하고 각 케이스에서 MLE의 극한 분포를 특성화한다.
• 초한비율 케이스에서 혼합 정규 극한 분포에 대한 새로운 확률적 표현을 제공하며, 이는 적절하게 스케일링된 점프 유형 CIR 과정의 거의 확실한 극한을 포함한다.
• 금융 모델링에서 널리 사용되는 기본 애파인 점프-확산 과정(Basic Affine Jump-Diffusions, BAJDs)에 결과를 특수화한다.

제안 방법

• 점프 유형 CIR 과정을 위너 과정과 서브도미네이터에 의해 구동되는 확률적 미분방정식(SDE)으로 모델링하며, $ a $, $ \sigma $, 그리고 레비 측도 $ m $는 알려져 있고, $ b $는 미지이다.
• 가능도 비율을 이용한 MLE는 기하학적 변환 정리(Girsanov theorem)와 국소 martingale 기법을 통해 유도되며, 가능도는 드리프트와 확산 성분에만 의존한다.
• 점근 분석은 연속 국소 martingale에 대한 극한 정리에 기반하며, 특히 다변량 연속 국소 martingale에 대한 강한 대수법칙과 수렴성에 대한 분포 수렴을 활용한다.
• 초한비율 케이스에서는, 극한 혼합 정규 분포에 대한 새로운 확률적 표현을 도출하였으며, 이 극한은 적절하게 스케일링된 점프 유형 CIR 과정의 거의 확실한 극한을 포함한다.
• 분석은 $ b $의 부호에 따라 세 영역으로 나뉜다: 하한비율($ b > 0 $), 임계($ b = 0 $), 초한비율($ b < 0 $), 각각 다른 점근 도구가 필요하다.
• 이론적 결과는 이차 변동, 국소 시간, 라플라스 변환 등을 포함한 엄밀한 확률 미적분학의 적용을 통해 검증되었으며, MLE 및 그 점근 행동에 대한 명시적 표현이 제공된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 연속 시간 샘플링 하에서 점프 유형 CIR 과정의 성장률 $ b $에 대한 MLE의 점근적 성질은 무엇인가?
• RQ2 서브도미네이터(점프 성분)의 포함이 고전적 확산 유형 CIR 과정과 비교해 MLE의 극한 분포에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 초한비율 케이스($ b < 0 $)에서 극한 분포의 성격은 무엇이며, 과정 자체에 의해 확률적으로 표현될 수 있는가?
• RQ4 임계 케이스($ b = 0 $)는 하한비율 및 초한비율 케이스와 비교해 점근적 행동에서 어떻게 다를까?
• RQ5 결과는 기본 애파인 점프-확산 과정(BAJDs)에 특수화될 수 있으며, 금융 모델링에 어떤 함의를 갖는가?

주요 결과

• 하한비율 케이스($ b > 0 $)에서는 MLE가 약한 일치성을 보이며, 점근적으로 정규 분포를 따른다. 추가로 모멘트 조건이 만족되면 강한 일치성도 확보된다.
• 초한비율 케이스($ b < 0 $)에서는 MLE가 강한 일치성을 보이며, 혼합 정규 법칙으로 수렴한다. 이 극한 분포는 적절하게 스케일링된 점프 유형 CIR 과정의 거의 확실한 극한을 포함하는 새로운 확률적 표현을 통해 기술된다.
• 임계 케이스($ b = 0 $)에서는 MLE가 약한 일치성을 보이지만, 정규 또는 혼합 정규 극한과는 다름없는 비표준 점근 행동을 나타낸다.
• 초한비율 케이스에서의 극한 혼합 정규 분포는 점프 유형 CIR 과정의 장기적 행동에서 유래하는 랜덤 분산 성분을 특징으로 한다.
• Mai(2016)의 이전 연구를 보완하여 가능도 비율 및 MLE의 표현식을 수정하였으며, 에르고딕성 가정이 필요 없어졌다.
• 실제 추정에서 $ \sigma $나 레비 측도 $ m $의 지식이 필요 없이도 $ b $에 대한 MLE를 추정할 수 있어, 실용적 추정을 단순화한다.