[논문 리뷰] Asymptotically Exact Inference in Conditional Moment Inequality Models

Timothy B. Armstrong|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 05.

Advanced Causal Inference Techniques인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 조건부 모멘트 부등식 모델에 대해, 매개변수가 식별 집합의 경계에 있을 때, 콜모고로프-스미르노프 스타일의 검정 통계량의 정확한 수렴 속도와 점근적 분포를 도출하여 점근적으로 정확한 추론을 개발한다. 수렴 속도가 루트 n보다 빠르며, 구체적으로 $ n^{-2/(d_X+4)} $임을 보이고, 유의미한 영향을 미치지 않는 모멘트에만 의존하는 점근적 분포를 도출함으로써, 기존의 보수적인 루트 n 근사보다 더 강력한 추론이 가능하다.

ABSTRACT

This paper derives the rate of convergence and asymptotic distribution for a class of Kolmogorov-Smirnov style test statistics for conditional moment inequality models for parameters on the boundary of the identified set under general conditions. In contrast to other moment inequality settings, the rate of convergence is faster than root-$n$, and the asymptotic distribution depends entirely on nonbinding moments. The results require the development of new techniques that draw a connection between moment selection, irregular identification, bandwidth selection and nonstandard M-estimation. Using these results, I propose tests that are more powerful than existing approaches for choosing critical values for this test statistic. I quantify the power improvement by showing that the new tests can detect alternatives that converge to points on the identified set at a faster rate than those detected by existing approaches. A monte carlo study confirms that the tests and the asymptotic approximations they use perform well in finite samples. In an application to a regression of prescription drug expenditures on income with interval data from the Health and Retirement Study, confidence regions based on the new tests are substantially tighter than those based on existing methods.

연구 동기 및 목표

• 매개변수가 식별 집합의 경계에 있을 때 조건부 모멘트 부등식 모델에 대해 콜모고로프-스미르노프 스타일의 검정 통계량의 정확한 수렴 속도와 점근적 분포를 도출하는 것.
• 기존 방법들이 이러한 조건 하에서 테스트 통계량에 대해 보수적인 루트 n 경계만 제공하는 바, 날카운 점근적 근사의 부족을 해결하는 것.
• 정확한 점근적 분포와 스케일링을 사용하여 기존의 보수적인 접근보다 더 강력한 새로운 추론 절차를 개발하는 것.
• 새로운 방법과 기존 방법 하에서 식별 집합으로 수렴하는 국소 대안의 탐지 비율을 비교하여 성능 향상 정도를 정량화하는 것.
• 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 제안된 검정의 유한 표본 성능을 검증하고, Health and Retirement Study 자료를 활용한 실세계의 간격 회귀 모델에 적용하는 것.

제안 방법

• 모든 (s,t)로 인덱싱된 구간에서의 무조건적 모멘트의 하한을 분석함으로써, 귀무가설과 해당 모든 구간에서의 모멘트 부등식 간의 등가성을 활용하여 검정 통계량의 점근적 분포를 도출한다.
• 매개변수에 대한 일阶 테일러 전개와 조건부 변수에 대한 이阶 테일러 전개를 사용하여, 경계점 근처의 통합 모멘트 함수를 근사한다.
• 변수 교체 $ u = (x - x_k)n^{1/(2(d+2))} $를 적용하여 적분을 재매개변수화하고, 진짜 적분과 근사 적분 간의 차이가 관련 영역 전반에서 균일하게 0으로 수렴함을 보인다.
• 검정 통계량의 하한이 점근적으로 $ x - x_k $에 대한 이차형식과 매개변수 편차 $ a_n $에 대한 선형항의 합에 $ \sqrt{n} $으로 스케일된 것과 점근적으로 동일하다는 것을 입증한다.
• 유도된 스케일링 하에서 바인딩 모멘트의 기여가 극한에서 사라짐을 보여, 점근적 분포가 오직 비바인딩 모멘트에만 의존한다는 것을 입증한다.
• 유도된 점근적 분포를 사용하여, 기존의 보수적인 $ \sqrt{n} $ 근사보다 더 강력한 임계값을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조건부 모멘트 부등식 모델에서 식별 집합의 경계에 있는 매개변수에 대해 콜모고로프-스미르노프 검정 통계량의 정확한 수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 검정 통계량의 점근적 분포는 표준 루트 n 결과와 어떻게 다를까? 그 한계 형태는 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ3 제안된 방법은 기존의 보수적인 접근보다 더 빠른 속도로 식별 집합으로 수렴하는 국소 대안을 탐지할 수 있는가?
• RQ4 새로운 검정의 유한 표본 성능은 기존 방법과 비교하여 크기와 검정력 측면에서 어떻게 되는가?
• RQ5 실제 응용에서 새로운 추론 절차에 기반한 신뢰구역은 기존의 보수적 근사에 기반한 것과 비교하여 크기가 어떻게 되는가?

주요 결과

• 식별 집합의 경계에서 검정 통계량의 수렴 속도는 $ n^{-2/(d_X+4)} $이며, 이는 표준 $ \sqrt{n} $ 속도보다 빠르다.
• 경계 근처의 국소 근사의 구조 덕분에, 검정 통계량의 점근적 분포는 바인딩 모멘트가 아니라 비바인딩 모멘트에만 의존한다.
• 새로운 검정은 식별 집합으로 수렴하는 국소 대안을 $ n^{-2/(d_X+4)} $ 속도로 탐지할 수 있지만, 기존의 보수적 방법은 $ n^{-1/(d_X+2)} $ 속도로만 탐지할 수 있다.
• 검정력 향상은 상당히 크며, 새로운 방법은 루트 n 근사에 의해 탐지 가능한 것보다 점근적으로 더 가까운 대안을 탐지할 수 있다.
• 몬테카를로 시뮬레이션은 점근적 근사가 유한 표본에서도 잘 작동하며, 정확한 크기와 향상된 검정력을 보임을 확인한다.
• 소득에 대한 처방약 지출의 간격 회귀 모델에 대한 응용에서, 새로운 검정에 기반한 신뢰구역은 기존 방법에 비해 상당히 더 좁다.