[논문 리뷰] Asymptotically Optimal Circuit Depth for Quantum State Preparation and General Unitary Synthesis

Xiaoming Sun, Guojing Tian외 3명|arXiv (Cornell University)|2021. 08. 13.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 32인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 m 애너실리 퀸티를 사용하여 임의의 n-큐비트 양자 상태를 준비하고 일반적인 n-큐비트 유니터리를 구현하기 위한 점점 최적의 양자 회로를 제시한다. 깊이 $ frac{2^n}{m+n} + n$의 $ frac{2^n}{m+n} + n$을 달성하며, 이는 광범위한 애너실리 수에 걸쳐 최적의 깊이 범위를 갖는다. 이는 양자 알고리즘 설계에서 오랫동안 미해결된 회로 깊이 복잡도 문제를 해결한다.

ABSTRACT

The Quantum State Preparation problem aims to prepare an $n$-qubit quantum state $|ψ_v angle =\sum_{k=0}^{2^n-1}v_k|k angle$ from the initial state $|0 angle^{\otimes n}$, for a given unit vector $v=(v_0,v_1,v_2,\ldots,v_{2^n-1})^T\in \mathbb{C}^{2^n}$ with $\|v\|_2 = 1$. The problem is of fundamental importance in quantum algorithm design, Hamiltonian simulation and quantum machine learning, yet its circuit depth and size complexity remain open when ancillary qubits are available. In this paper, we study efficient constructions of quantum circuits with $m$ ancillary qubits that can prepare $|ψ_v angle$ in depth $ ilde O\left(\frac{2^n}{m+n}+n ight)$and size $O(2^n)$, achieving the optimal value for both measures simultaneously. These results also imply a depth complexity of $Θ(4^n/(m+n))$ for quantum circuits implementing a general $n$-qubit unitary using $m = O(2^n/n)$ ancillary qubits. This resolves the depth complexity for circuits without ancillary qubits, and for circuits with exponentially many ancillary qubits, this gives a quadratic saving from $O(4^n)$ to $ ilde Θ(2^n)$. Our circuits are deterministic, prepare the state and carry out the unitary precisely, utilize the ancillary qubits tightly and the depths are optimal in a wide range of parameter regime. The results can be viewed as (optimal) time-space tradeoff bounds, which is not only theoretically interesting, but also practically relevant in the current trend that the number of qubits starts to take off, by showing a way to use a large number of qubits to compensate the short qubit lifetime.

연구 동기 및 목표

• 애너실리 퀸티가 이용 가능한 조건에서 상태 준비 및 유니터리 합성의 양자 회로 깊이 복잡도 문제를 해결하기 위해.
• 깊이와 크기를 동시에 최적화하여 시간-공간 상호교환 관계를 명확히 하기 위해.
• 단일 큐비트 게이트와 CNOT 게이트를 사용하여 양자 상태와 유니터리를 결정적이고 정확하게 구현하기 위해.
• 고장내성 양자 계산을 위한 장기적인 목표를 고려해 클리포드+T 게이트 세트를 사용한 근사적 합성으로 결과를 확장하기 위해.

제안 방법

• 임의의 n-큐비트 상태 |ψv⟩를 |0⟩⊗n에서 준비하기 위해 단일 큐비트 회전과 CNOT 게이트를 사용하는 양자 회로를 구성한다.
• 회귀적 분해 전략을 적용하여 애너실리 큐비트를 효율적으로 활용함으로써 회로 깊이를 감소시킨다.
• 제어된 연산을 그룹화하고 체계적인 층 쌓기 기법을 통해 깊이를 최소화하는 새로운 게이트 합성 기법을 적용한다.
• 게이트 의존성과 매개변수 수의 조합론적·대수학적 분석을 통해 깊이 상한을 유도한다.
• 정밀도 매개변수 ǫ으로 제어되는 오차를 갖는 클리포드+T 게이트 세트를 사용한 근사적 합성으로 결과를 확장한다.
• 매개변수 수와 유니터리 군의 차원 수에 기반한 하한 증명을 통해 깊이 상한의 최적성을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 m 애너실리 큐비트를 사용할 때, 임의의 n-큐비트 양자 상태를 준비하기 위한 점점 최적의 회로 깊이는 무엇인가?
• RQ2 일반적인 n-큐비트 유니터리 합성의 깊이 복잡도를 크기와 애너실리 사용량과 동시에 최소화할 수 있는가?
• RQ3 애너실리 큐비트의 포함이 양자 상태 준비 및 유니터리 합성의 깊이 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 정확한 및 근사적 양자 회로 합성에 대해 최적의 시간-공간 상호교환 관계는 무엇인가?
• RQ5 결과를 고장내성 게이트 세트인 클리포드+T로 확장할 수 있으며, 정밀도를 제어할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 m 애너실리 큐비트를 사용할 때 양자 상태 준비의 깊이를 $\widetilde{O}\left(\frac{2^n}{m+n} + n\right)$로 달성하였으며, 이는 광범위한 m 범위에서 점점 최적이다.
• 일반적인 n-큐비트 유니터리 합성의 경우 깊이는 $\widetilde{O}\left(n2^n + \frac{4^n}{m+n}\right)$이며, $m = O(2^n/n)$일 때 하한과 일치한다.
• m = O(2^n)일 경우 깊이는 $O(n)$으로 감소하며, 이는 이전 최선의 상한 $O(4^n)$에 비해 제곱근 수준의 향상이다.
• 회로의 크기는 상태 준비에 대해 $O(2^n)$, 유니터리 합성에 대해 $O(4^n)$이며, 이는 최적이다.
• 클리포드+T 게이트를 사용한 근사적 합성의 경우, $m = O(2^n/(n\log n))$일 때 깊이는 $O\left(\frac{2^n \log(2^n/\epsilon)}{m+n}\right)$이며, 정밀도 $\epsilon$로 제어된다.
• 제안된 회로가 광범위한 애너실리 수에 걸쳐 깊이 측면에서 로그 인자 수준 이내로 최적이며, 양자 회로 복잡도 분야에서 오랫동안 미해결이었던 문제를 해결한다.