[논문 리뷰] Decompositions of general quantum gates

Mikko Möttönen, Juha J. Vartiainen|ArXiv.org|2005. 04. 14.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 3인용 수 88

한 줄 요약

이 논문은 코스인-사인 행렬 분해(CSD)를 사용한 일반 n-qubit 양자 게이트의 개선된 분해를 제안하며, 주요 CNOT 게이트 수를 기존까지 알려진 바 중 가장 낮은 $rac{23}{48}4^n$ 으로 줄였다. 이는 균일 제어 게이트를 활용하고 선형 큐비트 체인에서의 근접 큐비트 상호작용을 최적화함으로써 회로 깊이와 실험적 오버헤드를 크게 감소시키면서도 보편성과 효율성을 유지한다.

ABSTRACT

Quantum algorithms may be described by sequences of unitary transformations called quantum gates and measurements applied to the quantum register of n quantum bits, qubits. A collection of quantum gates is called universal if it can be used to construct any n-qubit gate. In 1995, the universality of the set of one-qubit gates and controlled NOT gate was shown by Barenco et al. using QR decomposition of unitary matrices. Almost ten years later the decomposition was improved to include essentially fewer elementary gates. In addition, the cosine-sine matrix decomposition was applied to efficiently implement decompositions of general quantum gates. In this chapter, we review the different types of general gate decompositions and slightly improve the best known gate count for the controlled NOT gates to (23/48)4^n in the leading order. In physical realizations, the interaction strength between the qubits can decrease strongly as a function of their distance. Therefore, we also discuss decompositions with the restriction to nearest-neighbor interactions in a linear chain of qubits.

연구 동기 및 목표

• 일반적인 n-큐비트 양자 게이트를 분해하기 위해 필요한 CNOT 게이트 수를 줄여 보편적 양자 계산의 높은 자원 비용 문제를 해결한다.
• 특히 QR 및 NQ 분해 방법에 비해 CNOT 및 1-큐비트 게이트 수를 모두 최소화함으로써 기존 분해 방법을 향상시키는 것.
• 선형 아키텍처에서의 근접 큐비트 상호작용과 같은 물리적 제약 조건 하에서도 효율적인 양자 회로 구현을 가능하게 하는 것.
• 최소한의 게이트 오버헤드로 임의의 입력 상태를 원하는 목표 상태로 변환할 수 있는 실용적인 국소 상태 준비 프레임워크를 제공하는 것.
• 근접 큐비트 간 상호작용에 국한함으로써 실험적 구현 가능성과 낮은 자원 스케일링을 유지하면서 게이트 수를 최적화하는 것.

제안 방법

• n-큐비트 유니터리 연산을 더 단순한 제어 게이트로 재귀적으로 분해하기 위해 핵심 수학적 도구로 코스인-사인 행렬 분해(CSD)를 사용한다.
• 효율적인 복잡한 양자 연산 분해를 가능하게 하는 기본 빌딩 블록으로 균일 제어 게이트(UCGs)를 활용한다.
• 게이트 구조를 단순화하고 필요한 CNOT 수를 줄이기 위해 양자 멀티플렉서(QM) 기법을 적용한다.
• 단계별로 위상 일관성을 유지하면서 게이트 수를 줄이기 위해 $ ilde{F}^{i-1}_i(U(2))$ 게이트를 사용한 수정된 게이트 시퀀스를 도입한다.
• 국소 게이트 재정렬을 통해 상호작용 국소성을 유지하면서 CSD를 반복 적용함으로써 선형 근접 큐비트 아키텍처에 분해를 적응시킨다.
• 각 단계에서 비영인 진폭 수를 반으로 줄이는 재귀적 분해 전략을 활용하여 게이트 복잡도를 지수적으로 감소시킨다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반적인 n-큐비트 양자 게이트를 분해하기 위해 필요한 최소 CNOT 게이트 수는 얼마인가?
• RQ2 근접 큐비트 간 두 큐비트 상호작용만 허용될 경우 분해는 어떻게 최적화될 수 있는가?
• RQ3 코스인-사인 분해(CSD)는 CNOT 및 1-큐비트 게이트 수 측면에서 QR 또는 NQ 분해보다 낮은 게이트 수를 도출할 수 있는가?
• RQ4 국소 상태 준비의 최적 게이트 수는 얼마인가, 즉 임의의 입력 상태를 원하는 목표 상태로 변환하는 데 필요한가?
• RQ5 큐비트 연결성과 같은 물리적 제약 조건이 적용될 경우 게이트 수는 어떻게 스케일링되는가?

주요 결과

• 논문은 일반적인 n-큐비트 게이트 분해에 대해 기존까지 알려진 바 중 가장 낮은 주요 CNOT 수 $rac{23}{48}4^n$ 을 달성했다.
• 코스인-사인 분해(CSD) 방법은 QR 분해보다 훨씬 높은 복잡도 $O(n^3 4^n)$ 을 가지는 것에 비해 CNOT 및 총 게이트 수 모두를 크게 줄였다.
• 선형 체인에서의 근접 큐비트 상호작용의 경우, CNOT 수는 두 배 이내로 증가하여 주요 항에서 $rac{5}{6}4^n$ 에 도달하며, 물리적 구현에 매우 효율적이다.
• CSD와 양자 멀티플렉서를 조합하여 기본 게이트 수(제어 게이트와 1-큐비트 게이트)를 최소화하였으며, 주요 항에서 $rac{4^n}{2}$ 개의 CNOT과 $rac{4^n}{2}$ 개의 1-큐비트 게이트를 달성했다.
• 임의의 입력 상태를 목표 상태로 변환하기 위한 효율적 국소 상태 준비는 $2 \cdot 2^n - 2n - 2$ 개의 CNOT과 $2 \cdot 2^n - n - 2$ 개의 1-큐비트 게이트를 사용하며, 입력 또는 목표 상태가 계산 기저 상태일 경우 이 수치가 반으로 줄어든다.
• 표 2와 3에서 보듯이, CSD 기반 접근법은 QR 및 NQ 분해보다 게이트 효율성이 뛰어나며, $n \geq 2$ 에서 모든 경우에 총 게이트 수가 가장 낮다.