[논문 리뷰] Asymptotics and approximations of ruin probabilities for multivariate risk processes in a Markovian environment

Guusje Delsing, Michel Mandjes외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 12. 21.

Probability and Risk Models참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 공동 환경 과정에 의해 영향을 받는 개별 사업 부문이 있는 마코프-모odulated 리스크 모델에서 다변량 유한시간 파산 확률에 대한 渐近적 근사치를 개발한다. 저자들은 환경 전이율이 낮은 경우(단일 전환 근사)와 전이율이 높고 청구 강도가 높은 경우(확산 근사)의 두 정황을 분석하여, 광범위한 수치 실험을 통해 검증된 닫힌 양식의 근사치를 도출한다. 이 결과는 근사 선택이 전이율과 청구 강도 수준에 따라 결정된다는 점을 시사한다.

ABSTRACT

This paper develops asymptotics and approximations for ruin probabilities in a multivariate risk setting. We consider a model in which the individual reserve processes are driven by a common Markovian environmental process. We subsequently consider a regime in which the claim arrival intensity and transition rates of the environmental process are jointly sped up, and one in which there is (with overwhelming probability) maximally one transition of the environmental process in the time interval considered. The approximations are extensively tested in a series of numerical experiments.

연구 동기 및 목표

• 의존적인 사업 부문을 가진 다변량 리스크 모델에서 연합 파산 확률을 계산하는 데 도전하는 것.
• 청구 도착과 강도에 영향을 주는 공통의 마코프 환경 과정을 통해 사업 부문 간의 의존성을 모델링하는 것.
• 다양한 환경 역학에 따라 유한시간 파산 확률에 대한 정확하고 닫힌 양식의 근사치를 개발하는 것.
• 모델 파rameter에 기반하여 단일 전환 또는 확산 근사치를 언제 사용할 것인지에 대한 실용적 지침을 제공하는 것.
• 수치 실험을 통해 근사치의 정확도를 광범위하게 평가하여 다양한 파rameter 정황에서의 성능을 검증하는 것.

제안 방법

• 연속 시간 마코프 체인으로 표현된 환경 상태를 통해 다변량 리스크 과정을 크라머-룬베르크 과정의 집합으로 모델링한다.
• 청구 도착 강도와 환경 전이율이 비례적으로 가속화되는 스케일링 정황에서 확산 근사를 유도한다.
• 시간 영역 동안 환경 과정이 최대 한 번만 전이되는 정황을 위해, 특정 상태에서의 단변량 파산 확률을 활용하여 단일 전환 근사를 개발한다.
• 약한 수렴 원리를 적용하여 확산 근사를 스케일드된 다변량 리스크 과정의 극한으로 정당화한다.
• 시작 시점의 환경 상태와 희귀한 단일 전이 발생을 조건부로 설정하여 단일 전환 근사를 적용한다.
• 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 근사치를 검증하고, 수치적으로 계산된 진정한 파산 확률과 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공동 마코프 환경 과정을 통해 상관관계를 가지는 다변량 리스크 모델에서 파산 확률은 어떻게 근사할 수 있는가?
• RQ2 환경 과정의 진전이 느린 경우(낮은 전이율), 다변량 리스크 과정의 渐近적 성질은 무엇인가?
• RQ3 환경 과정의 진전이 빠르고 청구 도착 빈도가 높은 경우(높은 강도), 다변량 리스크 과정의 渐近적 성질은 무엇인가?
• RQ4 단일 전환 근사와 확산 근사가 잘 작동하거나 잘 작동하지 않는 파rameter 정황은 무엇인가?
• RQ5 낮은 청구 강도와 높은 환경 전이율 정황에서, 사업 부문 간의 독립성 가정은 제안된 근사치에 비해 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 환경 전이율이 낮을 경우 단일 전환 근사가 잘 작동한다. 이는 두 번 이상의 전이 확률이 무시할 만큼 낮기 때문이다.
• 환경 전이율과 청구 도착 강도가 모두 높을 경우 확산 근사가 정확한 추정치를 제공한다. 이는 다변량 브라운 운동에 드리프트가 약한 수렴을 이루기 때문이다.
• 높은 환경 전이율이지만 낮은 청구 도착 강도인 정황에서는 단일 전환 근사 또는 확산 근사 모두 잘 작동하지 않는다.
• 낮은 청구 강도와 높은 전이율 정황에서는 다변량 파산 확률을 구성 요소 간의 독립성 가정으로 가장 잘 근사할 수 있다. 이는 두 전용 근사치가 모두 실패하기 때문이다.
• 수치 결과는 환경 전이율을 낮추면 단일 전환 근사의 정확도가 향상됨을 보여주며, 이는 예상되는 바이다.
• 청구 도착 강도가 낮을 경우, 심지어 전이율이 높더라도 확산 근사의 성능은 크게 떨어진다.