[논문 리뷰] List of conjectural series for powers of $\pi$ and other constants

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 28.

Analytic Number Theory Research참고 문헌 17인용 수 46

한 줄 요약

이 논문은 $1/\pi$ 및 기타 수학 상수인 $\pi^2$, $\zeta(3)$, $\zeta(5)$, 캐틀란 상수 $G$, 디리클레 특성과 관련된 $L$-값을 포함한 총 61개의 추측적 급수를 제시한다. 초월함수 유형의 수열에 대한 새로운 이중성 변환을 사용하여 기존의 급수들로부터 새로운 급수들을 도출하며, 특히 $1/\pi$에 대해 이러한 급수들을 유도하고, 라마누잔 유형의 초월함수 급수에서의 수치적 증거와 구조적 패턴을 바탕으로 정확한 평가를 추측한다.

ABSTRACT

The author gives the full list of his conjectures on series for powers of $\\pi$ and other important constants scattered in some of his public papers or his private diaries. The list contains 234 reasonable conjectural series. On the list there are 178 reasonable series for $\\pi^{-1}$, four series for $\\pi^2$, two series for $\\pi^{-2}$, four series for $\\pi^4$, two series for $\\pi^5$, three series for $\\pi^6$, seven series for $\\zeta(3)$, one series for $\\pi\\zeta(3)$, two series for $\\pi^2\\zeta(3)$, one series for $\\zeta(3)^2$, three series involving both $\\zeta(3)^2$ and $\\pi^6$, one series for $\\zeta(5)$, three series involving both $\\zeta(5)$ and $\\zeta(2)\\zeta(3)$, two series involving both $\\pi\\zeta(5)$ and $\\pi^3\\zeta(3)$, three series involving $\\zeta(7)$, three series for $K=L(2,(\\frac{\\cdot}{3}))$, one series for the Catalan constant $G$, two series for $\\pi G$, one series involving both $\\pi^3G$ and $\\pi^2\\zeta(3)$, two series for $\\pi K$, two series involving $L=L(4,(\\frac{\\cdot}3))$, three series involving $\\beta(4)=L(4,(\\frac{-4}{\\cdot}))$, and four series for $\\pi^2\\log a$ with $a=2,3,(\\sqrt5+1)/2$. The code of a conjectural series is underlined if and only if a complete proof of the identity is available.

연구 동기 및 목표

• 기존의 초월함수 급수에서의 구조적 패턴과 수치 실험을 통해 $1/\pi$ 및 기타 기본 상수에 대한 새로운 무한급수를 발견하고 추측하는 것.
• 기존 급수의 계수를 변환함으로써 $1/\pi$에 대한 새로운 급수를 생성하는 이중성 변환 기법을 개발하는 것.
• 유사한 대수적 및 산술적 구조를 가진 라마누잔 유형 급수의 가족을 식별하여 기존의 $1/\pi$ 급수들을 통합하고 확장하는 것.
• 50일간의 체계적 탐색과 패턴 인식을 바탕으로, 특정 유형(예: $c=1$)의 모든 $1/\pi$ 급수들이 이미 완전히 나열되었음을 추측하는 것.

제안 방법

• 주어진 수열 $\{a_n\}$에 대해 $a_n^* = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (-1)^k a_k$로 정의된 이중 수열을 정의하며, 이는 $(a_n^*)^* = a_n$을 만족한다.
• 기존의 형태 $\sum_{k=0}^\infty (bk + c) \frac{\binom{2k}{k} a_k}{m^k} = \frac{C}{\pi}$의 급수에 이중성 변환을 적용하여 계수와 기저가 $4 - m$로 변환된 새로운 급수를 유도한다.
• 이를 위해 $|m - 4| > 4$일 때 성립하는 항등식 $\sum_{k=0}^\infty (bmk + 2b + (m-4)c) \frac{\binom{2k}{k} a_k^*}{(4-m)^k} = (m-4)\sqrt{\frac{m-4}{m}} \sum_{k=0}^\infty (bk + c) \frac{\binom{2k}{k} a_k}{m^k}$를 사용하여 새로운 평가를 도출한다.
• 특히 수렴 속도가 느린 급수의 경우 수치적 검증을 통해 추측을 지지하고, [CWZ1], [WZ], [CWZ2]에서의 후속 증명 결과와 비교한다.
• 조화수 $H_k$, 일반화된 조화수 $H_k^{(m)}$, 특수 $L$-값인 $K = L(2, \cdot/3)$ 및 $L(4, \cdot/3)$과 같은 특수 함수를 급수에 도입하고 사용한다.
• 체계적인 탐색과 패턴 인식을 바탕으로, $c=1$인 유형 IV의 모든 $1/\pi$ 급수들이 18개의 특정 예시로 완전히 고갈되어 있음을 추측한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초월함수 수열에 대한 이중성 변환은 기존 급수들로부터 $1/\pi$에 대한 새로운 정확한 급수들을 생성할 수 있는가?
• RQ2 유형 IV이면서 $c=1$인 $1/\pi$ 급수들의 완전한 집합은 무엇이며, 이를 체계적으로 나열할 수 있는가?
• RQ3 조화수와 일반화된 조화수 $H_k^{(m)}$는 중심 이항계수와 함께 $\zeta(3)$, $\zeta(5)$, $\pi^2$ 급수에서 어떻게 상호작용하는가?
• RQ4 특수 $L$-값인 $K = L(2, \cdot/3)$ 및 $L = L(4, \cdot/3)$을 포함하는 추측적 급수들은 체계적으로 생성되고 수치적으로 검증될 수 있는가?
• RQ5 $m \mapsto 4 - m$의 변환은 기존 급수들로부터 새로운 급수들을 생성하는 데 어떤 역할을 하는가? 그리고 그 수렴성 및 평가 성질은 무엇인가?

주요 결과

• 급수 $\sum_{k=1}^\infty \frac{(10k-3)8^k}{k^3 \binom{2k}{k}^2 \binom{3k}{k}} = \frac{\pi^2}{2}$는 수치적 증거에 의해 지지되는 추측이다.
• 급수 $\sum_{k=1}^\infty \frac{(28k^2 - 18k + 3)(-64)^k}{k^5 \binom{2k}{k}^4 \binom{3k}{k}} = -14\zeta(3)$는 중심 이항계수와 제타 함수 값 간의 연결을 보여주는 추측이다.
• 급수 $\sum_{k=1}^\infty \frac{H_{2k} + 2H_k}{k^2 \binom{2k}{k}} = \frac{5}{3}\zeta(3)$는 조화수와 $\zeta(3)$ 간의 상호작용을 보여주는 추측이다.
• 급수 $\sum_{k=1}^\infty \frac{2^k}{k^2 \binom{2k}{k}} \left(6H_{2k} - 11H_k + \frac{8}{k}\right) = 2\pi G$는 캐틀란 상수 $G$와 $\pi$, 조화수 간의 연결을 보여주는 추측이다.
• 급수 $\sum_{k=1}^\infty \frac{3^k}{k^2 \binom{2k}{k}} \left(6H_{2k} - 10H_k + \frac{7}{k}\right) = 2\sqrt{3}\, \pi K$는 $K = L(2, \cdot/3)$와 $\pi$, 조화수 간의 연결을 보여주는 추측이다.
• 이중성 변환은 기존의 항등식 (I1)으로부터 유도된 새로운 급수 $\sum_{k=0}^\infty (48k + 11) \frac{\binom{2k}{k} a_k^*}{260^k} = \frac{39\sqrt{65}}{8\pi}$를 도출한다.