[논문 리뷰] Asymptotics of partial sums of central binomial coefficients and Catalan numbers

Sandro Mattarei|arXiv (Cornell University)|2009. 06. 23.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 생성함수와 다르부의 방법을 사용하여 중심 이항계수와 카탈란 수의 부분합에 대한 고차수 점근 전개를 유도한다. 또한, 소수 거듭제곱 모듈로에서 절단된 생성함수에 대한 닫힌 표현식을 제공하여, 기본적인 거듭제곱급수 조작과 특성 p에서의 프로베누스 추상형사(Endomorphism)를 통해 새로운 합동식을 도출한다.

ABSTRACT

We prove exact asymptotic expansions for the partial sums of the sequences of central binomial coefficients and Catalan numbers, $\sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}$ and $\sum_{k=0}^n C_n$. We also obtain closed forms for the polynomials $\sum_{k=0}^{q-1}\binom{2k}{k}x^k$ and $\sum_{k=0}^{q-1}C_kx^k$ over the field of $p$ elements, where $q$ is a power of the prime $p$.

연구 동기 및 목표

• 기존의 주요 항 추정치에 그치지 않고, 부분합 ∑ₖ₌₀ⁿ binom(2k,k) 및 ∑ₖ₌₀ⁿ Cₖ의 점근 행동을 더욱 정교화하기 위해.
• 계수 추출을 위한 생성함수와 다르부의 방법을 사용하여 정밀한 점근 전개를 도출하기 위해.
• p의 거듭제곱 q일 때, 특성 p의 유한체에서 ∑ₖ₌₀^{q-1} binom(2k,k)x^k 및 ∑ₖ₌₀^{q-1} Cₖx^k에 대한 닫힌 표현식을 수립하기 위해.
• 기존의 p진 합동식을 기본적인 생성함수 기법과 항등식 (1+x)^q ≡ 1+x^q mod p를 사용하여 재구성하고 재증명하기 위해.

제안 방법

• 중심 이항계수에 대한 생성함수 1/sqrt(1-4x)와 카탈란 수에 대한 생성함수 (1-sqrt(1-4x))/(2x) 사용.
• 부분합의 생성함수를 z=4x를 대입하여 1/sqrt(1-z) * 4/(4-z) 형태로 변환.
• 주요 특이점 z=1에서의 푸아제 열전개에 대해 다르부의 보조정리를 적용하여 점근 전개를 추출.
• 항등식 (1-4x)^q ≡ 1 - (4x)^q mod p를 사용하여 무한 급수를 모듈로 p에서 유한 다항식으로 축소.
• 프로베누스 추상형사 (1+x)^q ≡ 1 + x^q mod p를 활용하여 절단된 생성함수에 대한 합동식 유도.
• 최종 다항식을 x=1에서 평가하여, 모듈로 p에서 부분합에 대한 합동식 확보.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주요 항 4^{n+1}/(3√(πn)) 추정을 초월하여, ∑ₖ₌₀ⁿ binom(2k,k) 및 ∑ₖ₌₀ⁿ Cₖ에 대한 고차수 점근 전개는 무엇인가?
• RQ2 q가 소수 p의 거듭제곱일 때, F_q에서 ∑ₖ₌₀^{q-1} binom(2k,k)x^k 및 ∑ₖ₌₀^{q-1} Cₖx^k에 대한 닫힌 표현식을 도출할 수 있는가?
• RQ3 기존의 p진 합동식을 기본적인 생성함수 조작과 유한체 항등식만을 사용하여 재구성할 수 있는가?
• RQ4 모듈로 p에서 생성함수 ∑ₖ₌₀^{q-1} binom(2k,k)x^k의 구조는 무엇이며, (1-4x)^{(q-1)/2}와의 관계는 어떻게 되는가?

주요 결과

• 부분합 ∑ₖ₌₀ⁿ binom(2k,k)는 점근 전개 4^{n+1}/(3√(πn)) × (1 + 1/(24n) + 59/(384n²) + 2425/(9216n³) + O(n⁻⁴))를 갖는다.
• 부분합 ∑ₖ₌₀ⁿ Cₖ는 점근 전개 4^{n+1}/(3n√(πn)) × (1 + 1/(24n) + 59/(384n²) + 2425/(9216n³) + O(n⁻⁴))를 갖는다.
• F_p에서, q가 홀수 소수 p의 거듭제곱일 때 다항식 ∑ₖ₌₀^{q-1} binom(2k,k)x^k ≡ (1-4x)^{(q-1)/2} mod p 이다.
• F_p에서, q가 홀수 소수 p의 거듭제곱일 때 다항식 ∑ₖ₌₀^{q-1} Cₖx^k ≡ (1 - (1-4x)^{(q+1)/2})/(2x) - x^{q-1} mod p 이다.
• 위의 다항식을 x=1에서 평가하면, 합동식 ∑ₖ₌₀^{q-1} binom(2k,k) ≡ (3^{(q-1)/2} - 1)/2 mod p 및 ∑ₖ₌₀^{q-1} Cₖ ≡ (3(q/3) - 1)/2 mod p 를 얻는다. 여기서 (q/3)는 레지오드 심볼이다.
• 반복적으로 연산자 xD를 적용함으로써, k^m binom(2k,k) 및 k^m Cₖ를 포함한 합에 대한 방법이 일반화되며, 이는 모듈로 p에서 기존 결과를 재생산한다.