[논문 리뷰] Atomic decomposition of product Hardy spaces via wavelet bases on spaces of homogeneous type

Yongsheng Han, Ji Li외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 09.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 Coifman과 Weiss의 정의에 따라 균질 공간으로서의 성질을 가진 곱공간 $\widetilde{X} = X_1 \times X_2$ 상에서의 곱 Hardy 공간 $H^p(\widetilde{X})$ 에 대해, 추가적인 균질 거리 또는 쌍대 측도에 대한 가정 없이 정규직교 웨이브릿 기저와 이분할 격자를 이용하여 원자 분해를 수립한다. 주요 결과는 곱 Hardy 공간과 관련된 BMO 유형 공간들이 웨이브릿 및 이분할 격자의 선택에 영향을 받지 않으며, 모든 $q > 1$ 에 대해 $H^p(\widetilde{X})$ 가 곱 원자 Hardy 공간 $H^{p,q}_{\text{at}}(\widetilde{X})$ 와 일치한다는 것이다. 증명은 Journé 유형의 덮개 보조정리와 $(p,q)$-원자에 기반한 웨이브릿 전개의 $L^p$-노름 추정에 의존한다.

ABSTRACT

We provide an atomic decomposition of the product Hardy spaces $H^p(\widetilde{X})$ which were recently developed by Han, Li, and Ward in the setting of product spaces of homogeneous type $\widetilde{X} = X_1 imes X_2$. Here each factor $(X_i,d_i,μ_i)$, for $i = 1$, $2$, is a space of homogeneous type in the sense of Coifman and Weiss. These Hardy spaces make use of the orthogonal wavelet bases of Auscher and Hytönen and their underlying reference dyadic grids. However, no additional assumptions on the quasi-metric or on the doubling measure for each factor space are made. To carry out this program, we introduce product $(p,q)$-atoms on $\widetilde{X}$ and product atomic Hardy spaces $H^{p,q}_{ m at}(\widetilde{X})$. As consequences of the atomic decomposition of $H^p(\widetilde{X})$, we show that for all $q > 1$ the product atomic Hardy spaces coincide with the product Hardy spaces, and we show that the product Hardy spaces are independent of the particular choices of both the wavelet bases and the reference dyadic grids. Likewise, the product Carleson measure spaces ${ m CMO}^p(\widetilde{X})$, the bounded mean oscillation space ${ m BMO}(\widetilde{X})$, and the vanishing mean oscillation space ${ m VMO}(\widetilde{X})$, as defined by Han, Li, and Ward, are also independent of the particular choices of both wavelets and reference dyadic grids.

연구 동기 및 목표

• Coifman과 Weiss의 정의에 따라 균질 공간으로서의 성질을 가진 곱공간 $\widetilde{X} = X_1 \times X_2$ 에서의 곱 Hardy 공간 $H^p(\widetilde{X})$ 에 대해 원자 분해를 수립하는 것.
• 곱 $(p,q)$-원자와 관련된 곱 원자 Hardy 공간 $H^{p,q}_{\text{at}}(\widetilde{X})$ 를 정의하고 연구하여 분해의 수단으로 활용하는 것.
• 최소한의 기하적 가정 하에 모든 $q > 1$ 에 대해 곱 Hardy 공간 $H^p(\widetilde{X})$ 가 $H^{p,q}_{\text{at}}(\widetilde{X})$ 와 일치함을 증명하는 것.
• 곱 Hardy 공간, Carleson 측도 공간 $\text{CMO}^p(\widetilde{X})$, BMO 및 VMO 공간들이 웨이브릿 기저와 기준 이분할 격자의 선택에 영향을 받지 않음을 보이는 것.

제안 방법

• 저자들은 곱의 구조와 기저 공간의 기하학적 성질에 적합한 취소 조건과 크기 조건을 만족하는 $\widetilde{X}$ 상의 곱 $(p,q)$-원자를 도입한다.
• Auscher와 Hyt€n€en이 균질 공간에서 구성한 정규직교 웨이브릿 기저를 활용하며, 이는 이분할 격자에 기반하고 재생 공식과 부드러움 성질을 만족한다.
• 이분할 입자의 겹침을 제어하고 웨이브릿 전개의 $L^p$-노름을 원자 노름에 따라 추정하기 위해 Journé 유형의 덮개 보조정리를 사용한다.
• 원자 분해의 증명은 헬더 부등식과 웨이브릿 계수의 $L^q$-노름 추정에 기반하며, 쌍대 조건과 상한 차원 $\omega_i$ 를 통한 측도 성장의 신중한 제어를 포함한다.
• 원자들의 취소 성질과 웨이브릿의 부드러움을 이용하여 원자 지지집합에서 떨어진 영역의 기여를 유계로 제한함으로써, 다양한 이분할 격자 간의 일관성을 확보한다.
• 다른 웨이브릿 기저와 이분할 격자의 선택에 대해 공간들이 독립적임을 보이기 위해, 기하학적 매개변수에만 의존하는 상수들에 의해 원자 노름들이 서로 동치임을 보였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 균질 거리나 쌍대 측도에 대한 추가 가정 없이, 곱 균질 공간 상의 곱 Hardy 공간 $H^p(\widetilde{X})$ 에 대해 원자 분해를 수립할 수 있는가?
• RQ2 모든 $q > 1$ 에 대해 곱 Hardy 공간 $H^p(\widetilde{X})$ 는 곱 원자 Hardy 공간 $H^{p,q}_{\text{at}}(\widetilde{X})$ 와 동치인가?
• RQ3 곱 Hardy 공간, BMO, VMO, 그리고 Carleson 측도 공간들이 $\widetilde{X}$ 상에서 웨이브릿 기저 또는 기준 이분할 격자의 선택에 의존하는가?
• RQ4 균질 거리에 대한 정규성 가정이 없을 경우, $H^p(\widetilde{X})$ 에 속하는 함수의 웨이브릿 전개는 어떻게 원자 노름에 의해 제어할 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $q > 1$ 에 대해 곱 Hardy 공간 $H^p(\widetilde{X})$ 는 곱 $(p,q)$-원자에 의한 원자 분해를 가지며, 원자 노름은 $H^p$-노름과 동치이다.
• 모든 $q > 1$ 에 대해 곱 원자 Hardy 공간 $H^{p,q}_{\text{at}}(\widetilde{X})$ 는 곱 Hardy 공간 $H^p(\widetilde{X})$ 와 일치함을 보여, 정의의 동치성을 확립한다.
• 곱 Hardy 공간 $H^p(\widetilde{X})$, Carleson 측도 공간 $\text{CMO}^p(\widetilde{X})$, BMO 및 VMO 공간들은 정규직교 웨이브릿 기저와 기준 이분할 격자의 선택에 영향을 받지 않는다.
• 노름의 동치성 상수들은 $p$, $q$ 및 공간의 기하학적 상수들(균질 삼각 부등식 상수 $A_0^{(i)}$, 쌍대 상수 $C_\mu^{(i)}$, 상한 차원 $\omega_i$)에만 의존한다.
• 증명은 Journé 유형의 덮개 보조정리와 웨이브릿 전개의 $L^p$-추정에 기반하며, 핵심 단계는 원자 및 측도 이론적 양에 대해 $B_{11}$ 과 $B_{12}$ 가 균일하게 유계임을 보이는 것이다.
• 다른 웨이브릿 기저와 이분할 격자의 선택에 대해 공간들이 독립적임을 보이기 위해, 기하학적 매개변수에만 의존하는 상수들에 의해 원자 노름들이 균일하게 동치임을 보였다.