[논문 리뷰] Automaton semigroups: new construction results and examples of non-automaton semigroups

Tara Brough, Alan J. Cain|arXiv (Cornell University)|2016. 01. 06.

semigroups and automata theory참고 문헌 10인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 유한 반군의 자유곱과 자동기계 모노이드와 유한 모노이드의 와이어드 프로덕트가 항상 자동기계 반군임을 입증하며, 이러한 구성에 대한 닫힘 성질에 관한 열린 문제를 해결한다. 또한 (N, +) 또는 (N₀, +)의 비자명한 부분반군 중 어느 것도 자동기계 반군이 아니라는 것을 증명하여, 유한 생성되며 잔여 유한이고 단어 문제의 해가 존재하는 반군이지만 자동기계 반군이 아닌 첫 번째 알려진 예를 제공한다.

ABSTRACT

This paper studies the class of automaton semigroups from two perspectives: closure under constructions, and examples of semigroups that are not automaton semigroups. We prove that (semigroup) free products of finite semigroups always arise as automaton semigroups, and that the class of automaton monoids is closed under forming wreath products with finite monoids. We also consider closure under certain kinds of Rees matrix constructions, strong semilattices, and small extensions. Finally, we prove that no subsemigroup of $(\mathbb{N}, +)$ arises as an automaton semigroup. (Previously, $(\mathbb{N},+)$ itself was the unique example of a finitely generated residually finite semigroup that was known not to arise as an automaton semigroup.)

연구 동기 및 목표

• 자기반군 반군이 유한 모노이드와의 자유곱과 와이어드 프로덕트에 대해 닫혀 있는지 여부에 관한 열린 문제를 해결하기 위해.
• 리스 매트릭스 구성, 강한 반군 격자, 소규모 확장과 같은 특정 반군 구성이 자동기계 반군 성질을 유지하는지 조사하기 위해.
• 자기반군이 아닌 유한 생성, 잔여 유한 반군 중에서 단어 문제의 해가 존재하는 새로운 예를 찾기 위해, 이론에서 오랫동안 존재한 격차를 메우기 위해.
• 특히 (N, +)의 부분반군에 초점을 맞춰, 특정 반군이 자동기계 반군이 아니라는 것을 증명하기 위한 일반적인 기법을 제공하기 위해.

제안 방법

• 상태 매핑과 와이어드 재귀 기법을 사용하여 유한 반군의 자유곱에 대한 자동기계 표현을 구성하기 위해.
• S ≀ T가 자동기계 모노이드이고 T가 유한일 때, 재귀적 상태 행동을 통해 S ≀ T가 자동기계 모노이드로 통합됨을 보여줌으로써 와이어드 프로덕트에 대한 닫힘성을 증명하기 위해.
• 가능한 자동기계 표현에서 (N₀, +)의 부분반군에 대한 주기적 원소를 탐지하기 위해 와이어드 재귀 분석을 사용하기 위해.
• 상태가 자신과 0 상태로만 재귀하는 경우 주기적 원소를 나타낸다는 레퍼런스인 보조정리 14를 적용하기 위해.
• 상태의 거듭제곱(예: qₖˡ 및 qₗᵏ)에 대한 와이어드 재귀의 구조를 분석하여, (N₀, +)의 비자명한 부분반군에 대한 유한 자동기계가 존재한다고 가정할 경우 모순을 이끌어내기 위해.
• (N, +)의 부분반군이 유한 생성이며 큰 부분반군이므로, 자동기계 표현에서 주기성 제약 조건으로 인해 이러한 반군이 자동기계 반군일 수 없다는 것을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 반군의 자유곱은 항상 자동기계 반군인가?
• RQ2 자기반군의 모노이드 클래스는 유한 모노이드와의 와이어드 프로덕트에 대해 닫혀 있는가?
• RQ3 자기반군 위에서의 리스 매트릭스 구성이 특정 조건 하에서 자동기계 반군을 유도할 수 있는가?
• RQ4 자기반군의 강한 반군 격자는 스스로 자동기계 반군인가?
• RQ5 자기반군의 소규모 확장은 반드시 자동기계 반군인가? 특히, 0을 추가함으로써 자동기계 반군이 되는 비자기반군이 존재할 수 있는가?

주요 결과

• 유한 반군의 자유곱은 항상 자동기계 반군이며, 이는 자유곱이 유한 군에 대해 자동기계 군임을 보여주는 결과를 확장하는 열린 문제를 해결한다.
• 자기반군 모노이드와 유한 모노이드의 와이어드 프로덕트는 항상 자동기계 모노이드이며, 이는 이전에 부분적으로만 해결된 결과에 대해 완전한 답을 제공한다.
• (N₀, +)의 비자명한 부분반군(즉, (N, +)의 어떤 부분반군도 포함)은 자동기계 반군이 아니며, 이는 유한 생성되며 잔여 유한이고 단어 문제의 해가 존재하는 반군이지만 자동기계 반군이 아닌 첫 번째 알려진 예를 확립한다.
• 이 증명은 (N₀, +)의 비자명한 부분반군을 실현하는 가상의 자동기계가 주기적 원소를 나타내는 상태를 필요로 하며, 이러한 반군은 비자명한 주기적 원소를 가지지 않기 때문에 모순이 발생한다는 점에 기반한다.
• 이 결과는 (N, +)의 부분반군이 0을 추가하더라도 자동기계 반군이 될 수 없다는 것을 의미하며, 이러한 확장에 대해 잠재적인 긍정적 답변을 배제한다.
• 와이어드 재귀와 주기성 탐지에 기반한 일반적인 기법이 자동기계 반군이 아닌 특정 반군을 증명하기 위한 도구로 제안되며, 향후 작업을 위한 '펌핑 레퍼런스'-유사 기준의 가능성을 시사한다.