[논문 리뷰] On hopfian cofinite subsemigroups

Victor Maltcev, Nik Ruškuc|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 26.

semigroups and automata theory참고 문헌 7인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한 생성인 반군이 호프얀(cofinite) 부분반군을 포함하면 호프얀임을 증명함으로써, 히르숀의 군론적 결과에 대한 반군 버전을 확립한다. 핵심 기여는 유한 생성 반군의 전사 내항형형사상이 진부분 cofinite 반군을 전체 반군에 매핑할 수 없다는 구조적 정리이며, 이는 주요 결과를 함의한다. 반례들은 유한 생성의 필요성과 cofinite 부분반군으로부터 호프얀성의 유전이 실패함을 보여준다.

ABSTRACT

If a finitely generated semigroup S has a hopfian (meaning: every surjective endomorphism is an automorphism) cofinite subsemigroup T then S is hopfian too. This no longer holds if S is not finitely generated. There exists a finitely generated hopfian semigroup S with a non-hopfian subsemigroup T such that S\T has size 1.

연구 동기 및 목표

• 반군 이론에서 알려진 결과들과 유사하게, 유한 리스 인덱스 확장에서 호프얀 성질이 유지되는지 조사한다.
• 호프얀성의 유지에 있어 유한 생성 조건이 필수적인지 판단한다.
• 유한 생성 조건 하에서도 호프얀성이 cofinite 부분반군으로부터 유전되지 않는다는 것을 보여주는 명시적 예를 제시한다.
• 반군 이론에서 호프얀성, 유한 생성성, 리스 인덱스 간의 관계를 탐색한다.
• 일반화된 반군과 유한 표현성에 관한 호프얀성에 대한 열린 문제를 다룬다.

제안 방법

• 핵심 기술적 결과를 증명한다: 유한 생성 반군의 전사 내항형형사상은 진부분 cofinite 반군을 전체 반군에 매핑할 수 없다.
• 자유 반군의 구조와 그 집합 위의 작용을 이용해 반군의 반직곱으로 정의된 내항형형사상의 분석을 수행한다.
• 자유 반군의 $F$-작용(F-acts)에 관한 결과를 적용하여 호프얀 및 비호프얀 반군의 예를 구성한다.
• 재작성 체계와 혼합성 논증을 활용하여 특정 반군 표현에서 내항형형사상과 비단사성의 확인을 수행한다.
• 유한 계수의 자유 반군의 자동형사상이 유한 순서를 가지므로, 내항형형사상에 대한 귀납적 증명이 가능하다는 사실을 활용한다.
• 순환 $F$-작용을 이용해 리스 인덱스 1인 비호프얀 부분반군을 가진 유한 생성 호프얀 반군을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 cofinite 부분반군이 호프얀이면, 전체 유한 생성 반군도 호프얀인가?
• RQ2 cofinite 부분반군에서의 호프얀성 유지에 있어 유한 생성 조건이 필수적인가?
• RQ3 유한 생성 호프얀 반군이 유한 리스 인덱스의 비호프얀 부분반군을 포함할 수 있는가?
• RQ4 유한 표현 호프얀 반군이 유한 리스 인덱스의 비호프얀 부분반군을 포함할 수 있는가?
• RQ5 일반화된 반군에 대해 호프얀성은 결정 가능한가?

주요 결과

• 유한 생성 반군 $S$ 는 $S$ 가 호프얀인 cofinite 부분반군 $T$ 를 포함하면 호프얀임을 증명함으로써, 히르숀의 군론적 결과에 대한 반군 버전을 확립한다.
• 유한 생성 조건은 필수적이다: 이 조건이 없으면 cofinite 부분반군으로부터 호프얀성이 유지되지 않으며, $S^1$ 과 $T^1$ 을 이용한 반례로 이를 보였다.
• 호프얀이지만 $|S \setminus T| = 1$ 인 비호프얀 부분반군 $T$ 를 가진 유한 생성 호프얀 반군 $S$ 가 존재함을 보여, 호프얀성이 cofinite 부분반군으로부터 유전되지 않음을 입증한다.
• 반군 $S = F[Y]$ 는 호프얀이고 유한 생성이지만, $T = F[X]$ 는 비호프얀데, $Y$ 는 순환 호프얀 $F$-작용이고 $X$ 는 $|Y \setminus X| = 1$ 인 순환 비호프얀 $F$-작용이다.
• 일반화된 반군 $S = \langle a,b \mid abab^2ab = b \rangle$ 는 혼합성과 노에테르성 재작성 체계를 통해 전사적이지만 단사적이지 않은 내항형형사상을 구성함으로써 비호프얀임을 보였다.
• 논문은 비호프얀인 일반화된 반군의 구체적 예를 제공하여 문헌의 빈도를 메우며, 이러한 클래스에서 호프얀성이 일반적으로 결정 가능하지 않음을 보여준다.