[논문 리뷰] Average size of the 2-Selmer group of Jacobians of monic even hyperelliptic curves

Arul Shankar, Xiaoheng Wang|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 12.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 높이에 따라 순서를 매긴 ℚ 위의 모닉 짝수 히퍼엘리틱 곡선의 양자점이 있는 유리점으로 표시된 비웨이어슈트라스 점을 가진 야코비안의 2-셀머 군의 평균 크기를 계산한다. 궤도 방법과 등분포 기법을 사용하여 평균 크기가 정확히 6임을 입증하고, 이는 이러한 야코비안의 평균 모를라-베일 랭크에 대해 5/2의 상한을 제공하며, 고차수의 대부분의 이러한 곡선이 정확히 두 개의 유리점을 가짐을 보여준다.

ABSTRACT

In [5], Manjul Bhargava and Benedict Gross considered the family of hyperelliptic curves over $\Q$ having a fixed genus and a marked rational Weierstrass point. They showed that the average size of the 2-Selmer group of the Jacobians of these curves, when ordered by height, is 3. In this paper, we consider the family of hyperelliptic curves over $\Q$ having a fixed genus and a marked rational non-Weierstrass point. We show that when these curves are ordered by height, the average size of the 2-Selmer group of their Jacobians is 6. This yields an upper bound of 5/2 on the average rank of the Mordell-Weil group of the Jacobians of these hyperelliptic curves. Finally using an equidistribution result, we modify the techniques of [16] to conclude that as $g$ tends to infinity, a proportion tending to 1 of these monic even-degree hyperelliptic curves having genus $g$ have exactly two rational points - the marked point at infinity and its hyperelliptic conjugate.

연구 동기 및 목표

• 모닉 짝수 히퍼엘리틱 곡선의 야코비안에 대해 높이에 따라 순서를 매긴 ℚ 위의 유리점으로 표시된 비웨이어슈트라스 점을 가진 2-셀머 군의 평균 크기를 결정하는 것.
• 이러한 야코비안의 모를라-베일 군의 평균 랭크에 상한을 설정하는 것.
• 특히 고차수 g → ∞의 극한에서 이러한 곡선 위의 유리점 분포를 분석하는 것.
• 비웨이어슈트라스 경우로 확장된 비르가바와 그로스의 방법을 적용하는 것 — 그들은 웨이어슈트라스 점이 있는 곡선을 연구하였다.
• 등분포 및 국소-전역 기법을 사용하여 대부분의 이러한 곡선이 정확히 두 개의 유리점을 가짐을 보여주는 것.

제안 방법

• 갈루아 코hom로와 기하학적 궤도 이론을 통해 정수 계수 표현의 유리 궤도를 매개변수화하는 것.
• 2차형식의 붓기 이론을 사용하여 2-셀머 군을 표현 공간 내의 정수 궤도 수로 해석하는 것.
• 모듈러 영역을 구성하고 절단 기법을 적용하여 궤도 수 계산 과정에서의 꼬리 부분을 제어하는 것.
• 지역 조건을 다루고 전역 수 계산이 정확해지도록 제곱무리체 篩를 적용하는 것.
• 측도의 호환성과 국소 계산을 사용하여 특정 국소 성질을 가진 곡선의 조밀도를 제어하는 것.
• 문헌 [19]의 등분포 결과를 활용하여 고차수에서 증가함에 따라 정확히 두 개의 유리점을 가진 곡선의 비율이 양의 비율을 차지함을 보여주는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 높이에 따라 순서를 매긴 모닉 짝수 히퍼엘리틱 곡선의 야코비안에 대해, 표시된 유리 비웨이어슈트라스 점이 있는 경우의 2-셀머 군의 평균 크기는 얼마인가요?
• RQ2 이러한 야코비안의 모를라-베일 군의 평균 랭크는 웨이어슈트라스 점이 있는 경우와 비교해 어떻게 되나요?
• RQ3 고차수 g ≥ 2인 모닉 짝수 히퍼엘리틱 곡선 중 정확히 두 개의 유리점을 가진 곡선의 비율은 얼마입니까?
• RQ4 비웨이어슈트라스 경우에서는 2-셀머 군의 평균 크기가 6이지만, 웨이어슈트라스 경우는 3이 되는 이유는 무엇입니까?
• RQ5 등분포 및 샤보티 타입의 방법을 사용하여 대부분의 이러한 곡선이 최소한의 유리점 집합을 가짐을 보일 수 있나요?

주요 결과

• 모닉 짝수 히퍼엘리틱 곡선의 야코비안에 대해 표시된 유리 비웨이어슈트라스 점이 있는 경우, 높이에 따라 순서를 매길 때 2-셀머 군의 평균 크기는 정확히 6이다.
• 이 결과는 계수에 대한 유한한 합동 조건으로 정의된 임의의 가족으로 제한된 경우에도 성립한다.
• 이러한 야코비안의 모를라-베일 군의 평균 랭크는 최대 5/2이다.
• 고차수 g ≥ 2인 이러한 곡선의 양의 비율에 대해, 2-셀머 군의 크기가 6이며, 이 상한은 날카로운 것이다.
• g → ∞일 때, 이러한 모닉 짝수 히퍼엘리틱 곡선의 비율이 1에 수렴하며, 이들은 정확히 두 개의 유리점을 가진다: 무한대에 있는 표시된 점과 그 히퍼엘리틱 쌍대점.
• 이 결과는 100%의 이러한 곡선에서 야코비안 위에서 (∞′)−(∞)의 분할이 2로 나누어지지 않는다는 히ュ리스틱 예측을 확인한다.