[논문 리뷰] Avoid First Order Quantum Phase Transition by Changing Problem Hamiltonians

Vicky Choi|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 06.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 37인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 NP-난이도 최대 독립 집합(MIS) 문제에 대한 애디아바틱 양자 최적화에서 문제 해밀토니안을 재매arameter화함으로써, 정점 가중치를 스케일링하는 방식으로 1차 양자 상전이(FQPT)를 피할 수 있음을 보여준다. 이로 인해 최소 스펙트럼 갭이 크게 증가한다. 지수적으로 많은 국소 최대값을 가진 15정점의 CK 그래프에서 수치적 결과는 최소 갭이 지수적으로 작은 값에서 다항적으로 큰 값으로 증가함을 보여주며, 문제 인스턴스를 변경하지 않고도 효율적인 애디아바틱 진화가 가능하다.

ABSTRACT

In Amin and Choi \cite{AC09}, we show that an adiabatic quantum algorithm for the NP-hard maximum independent set (MIS) problem on a set of special family of graphs in which there are exponentially many local maxima would have the exponentially small minimum spectral gap and thus would require the exponential time, due to the first order quantum phase transition (FQPT). The problem Hamiltonian of the adiabatic quantum algorithm for MIS is based on the reduction to the Ising problem and has flexible parameters. In this paper, we show numerically on the 15-vertex graph that by choosing the parameters appropriately in the problem Hamiltonian (without changing the problem to be solved) for MIS, we can prevent the FQPT and drastically increase the minimum spectral gap. The result is further supported by visualization from the Decomposed State Evolution Visualization (\desev) --- a visualization tool we introduced. Furthermore, our result also serves to concretely clarify that it is not sufficient to consider one specific problem Hamiltonian for proving the failure of adiabatic quantum optimization for a problem. We also raise the basic question about what the appropriate formulation of adiabatic running time should be.

연구 동기 및 목표

• 애디아바틱 양자 최적화에서 1차 양자 상전이(FQPT)가 문제 해밀토니안의 매개수 조정을 통해 피할 수 있는지 조사하는 것.
• 이전에 애디아바틱 알고리즘의 실패를 초래할 것으로 여겨졌던 FQPT에 의한 지수적으로 작은 스펙트럼 갭이 문제 인스턴스를 변경하지 않고도 완화될 수 있음을 입증하는 것.
• 수치 시뮬레이션과 시각화 도구를 사용하여 매개수 재가중치 조정이 최소 스펙트럼 갭을 향상시키는 데 효과적인지 검증하는 것.
• 어느 특정 애디아바틱 알고리즘이 실패한다고 해서 동일한 NP-난이도 문제에 대해 모든 애디아바틱 접근 방식이 본질적으로 비가능하다고 일반화하는 데 문제가 있는지 도전하는 것.
• 새로운 시각화 도구를 통해 양자 상태의 진동을 분석함으로써 효율적인 애디아바틱 양자 알고리즘 설계에 통찰을 제공하는 것.

제안 방법

• 저자들은 문제 해밀토니안을 정점 가중치를 매개수 k로 스케일링하여 재매arameter화함으로써, 문제의 에너지 구조를 변경하지 않고도 에너지 장면을 효과적으로 수정한다.
• 애디아바틱 진화 매개수 s에 따른 스펙트럼 갭을 계산하기 위해 시스템 해밀토니안의 수치적 대각화를 수행한다.
• 최소 스펙트럼 갭 g_min은 애디아바틱 실행 시간의 핵심 제약 요소로 간주되며, 다양한 스케일링 인자 k에 따른 그 행동을 분석한다.
• 새로운 시각화 도구인 분해된 상태 진동 시각화(DeSEV)를 사용하여 기저 상태와 첫 번째 옹진 상태의 진동을 추적함으로써, 피하기 쉬운 수준 교환과 FQPT의 특징을 확인한다.
• FQPT의 영향을 분리하기 위해 지수적으로 많은 국소 최대값을 가진 특수하게 구성된 15정점의 CK 그래프를 중심으로 분석을 수행한다.
• FQPT 억제에 가장 적합한 매개수 설정을 도출하기 위해 스케일링 매개수 k(1, 2, 3, 5, 10, 50)의 여러 값에 대해 결과를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 문제 해밀토니안의 매개수 조정을 통해 애디아바틱 양자 최적화에서 1차 양자 상전이를 피할 수 있는가?
• RQ2 지수적으로 많은 국소 최대값을 가진 인스턴스에서 문제 해밀토니안의 재매arameter화가 최소 스펙트럼 갭을 크게 증가시키는가?
• RQ3 문제 해밀토니안 매개수의 선택이 애디아바틱 양자 알고리즘에서 FQPT 발생에 얼마나 큰 영향을 미치는가?
• RQ4 DeSEV와 같은 시각화 도구가 피하기 쉬운 수준 교환과 스펙트럼 갭 감소의 메커니즘을 이해하는 데 도움이 될 수 있는가?
• RQ5 어느 특정 애디아바틱 알고리즘이 실패한다고 해서 동일한 NP-난이도 문제에 대해 모든 애디아바틱 알고리즘이 실패한다고 일반화하는 것이 타당한가?

주요 결과

• 지수적으로 많은 국소 최대값을 가진 15정점의 CK 그래프에서 원래 문제 해밀토니안은 지수적으로 작은 최소 스펙트럼 갭을 유도하며, 이는 FQPT와 함께 지수적인 애디아바틱 실행 시간을 암시한다.
• k=50로 정점 가중치를 스케일링함으로써 최소 스펙트럼 갭은 지수적으로 작은 값에서 다항적으로 큰 값으로 증가하며, FQPT 억제가 이루어짐을 나타낸다.
• DeSEV 시각화 결과는 최적의 매개수 설정에서 FQPT 특징인 피하기 쉬운 수준 교환의 흔적을 더 이상 보이지 않으며, 기저 상태와 첫 번째 옹진 상태의 진동이 매끄럽게 진행됨을 확인한다.
• 특정 애디아바틱 알고리즘이 FQPT로 인해 실패한다고 해서 동일 문제에 대해 전체 애디아바틱 알고리즘 클래스가 비가능하다고 결론 내리는 것은 성립하지 않음을 입증한다.
• 결과적으로 문제 해밀토니안의 매개수 조정이 애디아바틱 양자 최적화 성능 향상에 실현 가능한 전략임을 시사한다.
• 매개수 조정이 이 scaling을 변화시킬 수 있기 때문에, 애디아바틱 실행 시간이 최소 스펙트럼 갭의 역수로만 정의되어야 하는지에 대한 근본적인 질문을 제기한다.