[논문 리뷰] The role of symmetries in adiabatic quantum algorithms

Gernot Schaller, Ralf Schützhold|arXiv (Cornell University)|2007. 08. 14.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 5인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 정확히 커버 3와 같은 NP-완전 문제를 위한 대칭 복원(adibatic) 양자 알고리즘을 제안한다. 이 알고리즘은 선형 및 이차 파울리 연산자로만 구성된 하미르토니안을 사용한다. 대칭 복원과 관련된 두 번째 유형의 양자 상전이를 활용함으로써, 기존의 아디아바틱 방법보다 더 나은 평균 성능을 달성하며, 특히 소인수분해와 TEA 암호 키 검색 문제와 같이 이차 하미르토니안으로 표현되는 문제들에 대해 거쇼 알고리즘보다 지수적 속도 향상을 제공할 수 있다.

ABSTRACT

Exploiting the similarity between adiabatic quantum algorithms and quantum phase transitions, we argue that second-order transitions -- typically associated with broken or restored symmetries -- should be advantageous in comparison to first-order transitions. Guided by simple examples we construct an alternative adiabatic algorithm for the NP-complete problem {\em Exact Cover 3}. We show numerically that its average performance (for the considered cases up to ${\cal O}\{20\}$ qubits) is better than that of the conventional scheme. The run-time of adiabatic algorithms is not just determined by the minimum value of the fundamental energy gap (between the ground state and the exited states), but also by its curvature at the critical point. The proposed symmetry-restoring adiabatic quantum algorithm only contains contributions linear and quadratic in the Pauli matrices and can be generalized to other problem Hamiltonians which are decomposed of terms involving one and two qubits. We show how the factoring problem can be cast into such a quadratic form. These findings suggest that adiabatic quantum algorithms can solve a large class of NP problems much faster than the Grover search routine (which corresponds to a first-order transition and yields a quadratic enhancement only).

연구 동기 및 목표

• 대칭 복원과 관련된 두 번째 유형의 양자 상전이가 아디아바틱 양자 알고리즘 성능 향상에 기여할 수 있는지 조사한다.
• 시스템 크기가 증가함에 따라 최소 에너지 갭이 지수적으로 감소하는 기존 아디아바틱 알고리즘의 한계를 해결한다.
• 선형 및 이차 파울리 상호작용만을 사용하는 새로운 아디아바틱 알고리즘을 설계한다. 이는 고차항보다 더 강건하고 확장 가능한 것으로 간주된다.
• 소인수분해 및 티니 암호화 알고리즘(Tiny Encryption Algorithm, TEA)의 키 복구 문제를 이차 하미르토니안에 효과적으로 표현할 수 있음을 보여준다.

제안 방법

• 정확히 커버 3 문제를 위한 새로운 아디아바틱 알고리즘을 구성한다. 이 하미르토니안은 선형 및 이차 파울리 행렬 항목으로만 구성된다.
• 초기 하미르토니안(기본 상태가 알려진 상태)과 최종 문제 하미르토니안(해결책을 포함하는 상태) 사이를 연결하는 시간에 따라 변하는 하미르토니안을 사용한다.
• 지수적으로 작은 갭을 가진 첫 번째 유형의 상전이가 아닌, 대칭 복원과 관련된 두 번째 유형의 상전이의 특성—특히 임계점에서 대수적 갭 스케일링을 특징으로 하는 것—을 활용한다.
• 아디아바틱 정리에 따라, 만약 보간이 충분히 느리게 이루어지면 시스템이 전체 진화 동안 기본 상태에 머무르게 되며, 실행 시간은 최소 에너지 갭에 반비례한다.
• 보조 큐비트와 가역 연산(덧셈, XOR, 비트 시프트)을 사용하여 소인수분해 및 TEA 키 복구와 같은 고전적 NP 문제를 이차 하미르토니안으로 표현한다.
• 수치적 결과를 통해, 약 20 큐비트 이하의 시스템 크기에서 제안된 알고리즘이 기존 아디아바틱 방법보다 더 나은 평균 실행 시간 스케일링을 보임을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대칭 복원과 관련된 두 번째 유형의 양자 상전이가 첫 번째 유형의 상전이보다 아디아바틱 양자 알고리즘 성능 향상에 기여할 수 있는가?
• RQ2 선형 및 이차 파울리 상호작용만을 사용하는 아디아바틱 알고리즘이 NP-완전 문제에 대해 기존 방법보다 더 빠른 실행 시간 스케일링을 달성할 수 있는가?
• RQ3 소인수분해 및 티니 암호화 알고리즘(Tiny Encryption Algorithm, TEA)의 키 복구 문제를 아디아바틱 양자 계산에 적합한 이차 하미르토니안으로 효율적으로 표현할 수 있는가?
• RQ4 아디아바틱 양자 알고리즘에서 임계점에서의 에너지 갭 곡률과 총 진화 시간 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 제안된 대칭 기반 접근 방식이 거쇼 알고리즘보다 더 빠른 속도 향상을 제공할 수 있는가? 거쇼 알고리즘은 유일하게 제곱근 속도 향상만을 제공한다.

주요 결과

• 제안된 대칭 복원 아디아바틱 알고리즘은 정확히 커버 3 문제에 대해 기존 방법보다 더 나은 평균 성능을 보이며, 최대 20 큐비트까지의 수치 결과에서 이를 입증한다.
• 임계점에서의 갭 행동이 더 유리하기 때문에 실행 시간 스케일링이 향상되었으며, 최소 갭이 지수적으로 감소하는 것이 아니라 대수적으로 감소한다.
• 이 알고리즘은 선형 및 이차 파울리 항만을 포함하는 하미르토니안에 기반한다. 이는 고차항보다 물리적으로 실현 가능하며 디코herence에 덜 민감하다.
• 소인수분해 및 TEA 키 복구 문제는 O(nℓ)개의 보조 큐비트를 사용하여 이차 하미르토니안에 효과적으로 표현될 수 있으며, 이는 고전적 브루트 포스 검색보다 지수적 속도 향상을 가능하게 한다.
• 이 방법은 아디아바틱 양자 알고리즘이 파울리 행렬에 대해 이차인 하미르토니안을 갖는 문제들에 대해 거쇼 알고리즘보다 훨씬 더 빠르게 해결할 수 있음을 시사한다.
• 수치적 증거는 알고리즘 복잡도가 다항식 스케일링을 따른다는 것을 지지하며, 이는 특정 문제들에 대해 거쇼 알고리즘의 제곱근 스케일링 대비 지수적 속도 향상 가능성을 시사한다.