[논문 리뷰] Backward Deep BSDE Methods and Applications to Nonlinear Problems

Yajie Yu, Bernhard Hientzsch외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 06. 13.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 고차원 비선형 정방향-역방향 확률미분방정식(FBSDEs)을 해결하기 위한 새로운 역방향 딥 BSDE 방법을 제안한다. 특히 정량 금융 분야의 이자율 차등 문제에 적용된다. 이전에 실행되지 않았던 정확한 및 타일러 기반 근사법을 사용해 시간 단계별로 역행하는 방식으로 비선형 생성자를 처리함으로써, 스트래들 및 콜 컨비binations과 같은 복잡한 파생상품의 정확한 가격 책정이 가능해졌으며, 결과적으로 기존의 PDE 기준과 매우 유사한 성능을 보였다.

ABSTRACT

In this paper, we present a backward deep BSDE method applied to Forward Backward Stochastic Differential Equations (FBSDE) with given terminal condition at maturity that time-steps the BSDE backwards. We present an application of this method to a nonlinear pricing problem - the differential rates problem. To time-step the BSDE backward, one needs to solve a nonlinear problem. For the differential rates problem, we derive an exact solution of this time-step problem and a Taylor-based approximation. Previously backward deep BSDE methods only treated zero or linear generators. While a Taylor approach for nonlinear generators was previously mentioned, it had not been implemented or applied, while we apply our method to nonlinear generators and derive details and present results. Likewise, previously backward deep BSDE methods were presented for fixed initial risk factor values $X_0$ only, while we present a version with random $X_0$ and a version that learns portfolio values at intermediate times as well. The method is able to solve nonlinear FBSDE problems in high dimensions.

연구 동기 및 목표

• 이전의 역방향 딥 BSDE 방법이 영 또는 선형 생성자만 처리할 수 있었던 한계를 해결하고, 비선형 생성자로 확장한다.
• 파생상품 가격 책정에서 발생하는 이자율 차등으로 인한 비선형 PDE의 차원의 극복 문제를 해결한다.
• 고정된 초기 리스크 요소 값 $X_0$와 랜덤한 초기 리스크 요소 값 $X_0$를 모두 지원하는 역방향 딥 BSDE 프레임워크를 개발한다.
• 중간 시점에서 포트폴리오 가치를 딥 네ural 웹을 통해 학습시키는 새로운 방법을 구현하고 검증함으로써 정확성과 강인성을 향상시킨다.
• 이 방법이 이차 이자율 하에서 스트래들 및 콜 컨비binations과 같은 기준 비선형 문제에 대해 효과적으로 작용함을 입증하며, 기존의 PDE 솔버와 유사한 결과를 도출한다.

제안 방법

• 만기에서 초기 시간으로의 시간 역행 단계를 사용해, 특히 이자율 차등 문제에 대한 비선형 FBSDE 시스템을 시간 이산화한다.
• 이자율 차등 문제의 비선형 생성자에 대해 정확한 역행 단계 해법을 제안하며, 분석적으로 유도하여 정밀도를 확보한다.
• 정확한 해가 계산이 어려운 경우 효율적인 계산을 가능하게 하기 위해 비선형 생성자에 대한 타일러 기반 근사를 도입한다.
• 두 가지 변형을 구현한다: 고정된 $X_0$에 대해 $Y_{t_0}$의 배치 분산을 최소화하는 방법과, $X_0$가 랜덤일 경우 딥 네ural 웹을 사용해 $\mathsf{yinit}(X_0)$를 예측하는 방법.
• 고정된 $X_0$의 경우, 배치 분산 최소화를 목표 함수로 하는 미니배치 확률적 경사하강법을 사용하고, 랜덤한 $X_0$의 경우 평균 제곱오차 손실을 사용한다.
• 엔드 투 엔드 학습을 위한 계산 그래프를 구성하며, 역행 단계 근사법을 딥 러닝 프레임워크에 통합해 확장 가능하고 고차원 해법을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존에 영 또는 선형 생성자에만 적용 가능했던 역방향 딥 BSDE 방법이 비선형 생성자까지 확장 가능한가?
• RQ2 제안된 정확한 및 타일러 기반 역행 단계 근사법이 파생상품 가격 책정을 위한 비선형 FBSDE를 해결하는 데 얼마나 효과적인가?
• RQ3 초기 조건 $X_0$가 고정된 경우가 아니라 랜덤한 경우에도 이 방법이 정확성과 안정성을 유지하는가? PDE 기준과 비교해보면 어떻게 되는가?
• RQ4 역방향 딥 BSDE 방법의 결과가 이자율 차등 문제에 대해 기존의 PDE 솔루션과 얼마나 일치하는가?
• RQ5 이 방법은 고차원 환경에서 빌리기와 빚 갚기 행동과 같은 복잡한 트레이딩 전략을 얼마나 잘 포착할 수 있는가?

주요 결과

• 정확한 역행 단계를 사용한 역방향 딥 BSDE 방법은 배치 크기가 512일 때조차도 Forsyth과 Labahn [FL07]의 잘 알려진 PDE 기준과 매우 유사한 결과를 도출한다.
• 스트래들 및 콜 컨비binations의 경우, 방법이 예측한 $\mathsf{yinit}(X_0)$ 값이 Forsyth과 Labahn [FL07]의 기준 곡선과 잘 일치하며, 특히 배치 크기를 1024로 늘릴수록 더욱 뚜렷하다.
• 타일러 기반 역행 단계 근사법은 정확한 역행 단계와 거의 구분되지 않게 결과를 도출하며, 계산 비용이 낮은 대체 방법으로서의 타당성을 입증한다.
• 이 방법은 주식 가격 수준에 따라 빌리기 영역(빨간색)과 대출 영역(검은색)을 포함한 트레이딩 전략의 역학을 성공적으로 시각화하고 포착한다.
• 랜덤한 $X_0$로 훈련된 네트워크는 경로 기반 역행 값의 $L^2$-투영을 나타내는 일관된 $\mathsf{yinit}(X_0)$ 함수를 학습하며, 초기 조건의 변동성에 대비한 강인성을 보여준다.
• 이 방법은 고차원 문제로의 일반화가 효과적으로 이루어지며, 차원의 극복 문제로 인해 실패하는 전통적 PDE 및 몬테카를로 방법에 비해 확장 가능한 대안을 제공한다.