[논문 리뷰] Backward stochastic Volterra integral equations with jumps in a general filtration

Alexandre Popier|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 17.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 32인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반 필터레이션에서 브라운-푸아송 설정을 초월하여, 점프를 포함한 유형-I 및 유형-II 역확률 볼테라 적분 방정식(BSVIEs)에 대한 $L^p$-해의 존재성, 유일성 및 시간 정규성을 확립한다. 접근법은 고정점 원리와 BDG 유형 부등식을 사용하여, 카델라그 마르تين갈 및 일반 보상자를 갖는 랜덤 측도를 포함한 최소한의 필터레이션 가정 하에 경로 정규성과 적분 가능성을 증명한다.

ABSTRACT

In this paper, we study backward stochastic Volterra integral equations introduced in [26, 45] and extend the existence, uniqueness or comparison results for general filtration as in [31] (not only Brownian-Poisson setting). We also consider Lp-data and explore the time regularity of the solution in the It{\\^o} setting, which is also new in this jump setting.

연구 동기 및 목표

• 브라운-푸아송 필터레이션 설정을 초월하여 역확률 볼테라 적분 방정식(BSVIEs)에 대한 존재성 및 유일성 결과를 확장하는 것.
• 완비성과 오른쪽 연속성 조건이 만족되는 일반 필터레이션 하에서 유형-I 및 유형-II BSVIEs에 대한 $L^p$-해 이론을 수립하는 것.
• 점프가 있는 이토 설정 하에서 해 과정 $Y$의 시간 정규성을 분석하여 연속 경우에 대한 이전 결과를 일반화하는 것.
• 카델라그 마르틴갈 및 일반 보상자를 갖는 랜덤 측도를 포함한 일반 반마르틴갈 성분들을 BSVIE 프레임워크에 통합하는 것.

제안 방법

• 유형-I BSVIEs에 대해 적절한 $L^p$-공간에서 고정점 원리를 사용하여 해 4중체 $(Y, Z, U, M)$ 의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 마르틴갈 항목의 이차변동을 제어하고 $Y$에 대한 경로 정규성 추정치를 도출하기 위해 BDG 유형 부등식을 적용한다.
• 해로부터 구성된 반마르틴갈 $X_t(u)$ 에 이토의 공식을 적용하여 $Y(t)$, $Z(t,s)$, $U(t,s,x)$, $M(t,s)$ 를 포함한 사전 추정치를 유도한다.
• 필터레이션에 대해 최소한의 가정을 둔다: 오직 완비성과 오른쪽 연속성만 요구되며, 이로 인해 일반 반마르틴갈 성분 $B$, $X^\bullet$, $\tilde{\nu}^\natural$, 및 마르틴갈 $M$ 이 허용된다.
• 생성자 $f$ 를 유계하고, 드리프트 및 확산 항목에 얀의 부등식을 적용하여 해 성분에 대한 $L^p$-추정치를 유도한다.
• M-해 개념을 사용하여 해가 마르틴갈 표현 성질을 만족함을 보장함으로써 경로 정규성 유도에 필수적인 조건을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 브라운-푸아송 설정을 초월하여 일반 필터레이션에서 점프를 포함한 BSVIEs에 대한 $L^p$-해의 존재성과 유일성을 확립할 수 있는가?
• RQ2 필터레이션이 일반적이고 점프 및 반마르틴갈 성분을 포함할 때, 일반적인 $L^p$-설정 하에서 해 $Y$의 시간 정규성은 어떠한가?
• RQ3 브라운 운동이나 푸아송 과정이 없는 상황에서 $Z$, $U$, $M$ 성분들이 $Y$ 의 정규성에 어떻게 기여하는가?
• RQ4 일반 반마르틴갈 노이즈와 점프 측도를 포함한 비-마르코프, 비-맥킨형 BSVIEs 를 다룰 수 있도록 고정점 방법을 적응시킬 수 있는가?
• RQ5 해의 경로 정규성을 보장하는 데 필요한 정확한 $L^p$-추정치는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 일반 필터레이션 하에서 유형-I BSVIEs에 대한 $L^2$-해의 존재성과 유일성을 증명하며, 이는 이전 결과가 브라운 또는 푸아송 필터레이션을 요구했던 것을 일반화한다.
• 생성자 $f$ 와 종료 조건 $\tilde{\nu}^\natural$ 에 대한 약한 가정 하에서 해 $Y$ 의 $L^p$-정규성을 시간에 대해 확립하여, 점프 설정으로의 경로 정규성 이론을 확장한다.
• 적절한 적분 가능성 및 연속성 조건 하에서 $Y$ 는 공간 $D([0,T]; \mathbb{L}^p_{\mathbb{F}}(\Omega))$ 에 속하며, 이는 $L^p$ 에서 카델라그 경로를 가짐을 의미한다.
• BDG 및 얀의 부등식을 사용하여 해 성분 $Z$, $U$, $M$ 에 대한 날카로운 $L^p$-추정치를 도출하였으며, 이는 정규성 증명에 필수적이다.
• M-해 개념은 해가 마르틴갈 표현 성질을 만족함을 보장하여, 시간 증분 $Y(t) - Y(t')$ 를 스트로크 적분을 통해 제어할 수 있도록 한다.
• 분석 결과 해 $Y$ 는 거의 확실히 카델라그가 아니지만, $L^p$-경로는 카델라그임을 확인하였으며, 이는 스토크라스틱 제어 및 PDE 분야에서 많은 응용에 충분하다.