[논문 리뷰] Banach Spaces Of The Type Of Tsirelson

Spiros A. Argyros, Irene Deliyanni|arXiv (Cornell University)|1992. 07. 06.

Advanced Banach Space Theory참고 문헌 1인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 자연수의 유한 부분집합들의 컴팩트 가족 $ \frak M $ 와 매개수 $ \theta \in (0,1) $ 에 따라 인덱스가 매겨진 Tsirelson 유형의 바나흐 공간 $ T_{\frak M}^\theta $ 의 가족을 제안한다. 반사성은 $ \frak M $ 의 Cantor-Bendixson 지수 값이 $ n $ 초과일 때이고 $ \theta > 1/n $ 이면 성립하며, 지수가 유한할 경우 $ T_{\frak M}^\theta $ 는 $ \ell^p $ 를 포함하고, 지수가 $ \omega $ 를 초과할 경우 $ \ell^p $ 를 포함하지 않는다. 특히 $ \frak M $ 이 크기가 최대 $ n $ 인 모든 부분집합으로 이루어져 있을 경우, $ T_{\frak M}^\theta $ 는 $ 1/p + \log_n(1/\theta) = 1 $ 인 $ \ell^p $ 와 동형이다.

ABSTRACT

To any pair ( M , theta ) where M is a family of finite subsets of N compact in the pointwise topology, and 0{1/n} then T_M^theta is reflexive. Moreover, if the Cantor-Bendixson index of M is greater than omega then T_M^theta does not contain any l^p, while if the Cantor-Bendixson index of M is finite thenT_M^theta contains some l^p or c_o . In particular, if M ={ A subset N : |A| leq n } and {1/n}

연구 동기 및 목표

• 자연수의 유한 부분집합들의 컴팩트 가족 $ \frak M $ 과 매개수 $ \theta \in (0,1) $ 를 사용하여 Tsirelson 공간의 일반화를 개발한다.
• 결과로 얻어진 바나흐 공간 $ T_{\frak M}^\theta $ 의 반사성을 $ \frak M $ 의 Cantor-Bendixson 지수와 $ \theta $ 의 값에 따라 특성화한다.
• 공간 $ T_{\frak M}^\theta $ 에서 $ \ell^p $ 또는 $ c_0 $ 의 동형 사본이 존재하는지 여부를 $ \frak M $ 의 위상적 복잡성에 따라 조사한다.
• 특히 $ \frak M $ 이 크기가 최대 $ n $ 인 모든 부분집합으로 이루어져 있을 경우, $ T_{\frak M}^\theta $ 와 $ \ell^p $ 사이의 정확한 동형 관계를 확립한다.
• 특정 조건 하에서 $ T_{\frak M}^\theta $ 의 암묵적 노름이 $ \ell^p $-노름과 동치임을 구성적으로 증명한다.

제안 방법

• $ T_{\frak M}^\theta $ 는 $ c_{00} $ 가 $ \|\cdot\| $ 노름에 대해 완비화된 것으로 정의되며, 이 노름은 다음 암묵적 식을 만족한다: $ \|x\| = \max\{ \|x\|_\infty, \theta \sup \sum_{i=1}^n \|E_i x\| \} $, 여기서 최대값은 $ \mathbb{N} $ 의 연속적인 유한 부분집합들로 이루어진 $ \frak M $-가능한 가족 $ (E_1, \dots, E_n) $ 에 대해 취해진다.
• $ \frak M $-가능한 가족 $ (E_1, \dots, E_n) $ 는 $ A = \{m_1, \dots, m_n\} \in \frak M $ 가 존재하여 $ m_1 \leq E_1 < m_2 \leq E_2 < \cdots < m_n \leq E_n $ 를 만족할 때 정의된다.
• $ [-1,1]^{(\mathbb{N})} $ 의 부분집합들인 $ \{K_s\}_{s=0}^\infty $ 이 귀납적으로 정의되며, 이는 쌍대 단위구를 나타낸다. $ K_0 = \{ \pm e_n \} $ 이고, $ K_{s+1} = K_s \cup \{ \theta (f_1 + \cdots + f_d) \mid d \leq n, f_i \text{ 는 연속적이며 } K_s \text{ 에 속함} \} $ 이다.
• 노름 $ \|x\| $ 는 $ \sup_{f \in \bigcup_{s=1}^\infty K_s} |\langle f, x \rangle| $ 와 같음을 보여, 이는 쌍대성과 기능값에 대한 귀납적 추정에 활용 가능하다.
• 반사성은 Cantor-Bendixson 지수에 대한 조건을 통해 확립된다: $ \text{ind}(\mathcal{X}(\frak M)) \geq n+1 $ 이고 $ \theta > 1/n $ 이면, $ T_{\frak M}^\theta $ 는 반사적이다.
• $ \ell^p $ 로의 동형성은 기능값에 대한 귀납적 추정과 벡터를 $ x' $ 과 $ x'' $ 성분으로 분해함으로써, $ \|x\| \leq \|x\|_p $ 와 $ \|x\| \geq c \|x\|_p $ (어떤 $ c > 0 $ 에 대해) 를 증명함으로써 증명된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자연수의 유한 부분집합들의 컴팩트 가족 $ \frak M $ 과 매개수 $ \theta \in (0,1) $ 가 어떤 조건을 만족할 때, 관련된 Tsirelson 유형 공간 $ T_{\frak M}^\theta $ 가 반사적일까?
• RQ2 $ T_{\frak M}^\theta $ 가 어떤 $ 1 < p < \infty $ 에 대해 $ \ell^p $ 의 동형 사본을 포함할 조건은 무엇인가?
• RQ3 $ T_{\frak M}^\theta $ 가 어떤 $ \ell^p $ 도 포함하지 않을 조건은 무엇이며, 이는 $ \frak M $ 의 Cantor-Bendixson 지수와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ4 $ \frak M $ 이 크기가 최대 $ n $ 인 모든 부분집합으로 이루어져 있을 경우, $ \theta $, $ n $, 그리고 $ T_{\frak M}^\theta $ 의 $ \ell^p $-동형 유형 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 특정 매개수 제약 조건 하에서 $ T_{\frak M}^\theta $ 의 암묵적 노름이 $ \ell^p $-노름과 동치임을 어떻게 보일 수 있는가?

주요 결과

• 만약 $ \mathcal{X}(\frak M) $ 의 Cantor-Bendixson 지수가 $ n+1 $ 이상이고 $ \theta > 1/n $ 이면, $ T_{\frak M}^\theta $ 는 반사적이다.
• $ \mathcal{X}(\frak M) $ 의 Cantor-Bendixson 지수가 $ \omega $ 를 초과하면, $ T_{\frak M}^\theta $ 는 $ 1 \leq p \leq \infty $ 에 대해 어떤 $ \ell^p $ 의 동형 사본도 포함하지 않는다.
• $ \mathcal{X}(\frak M) $ 의 Cantor-Bendixson 지수가 유한하면, $ T_{\frak M}^\theta $ 는 어떤 $ 1 < p < \infty $ 에 대해 $ \ell^p $ 의 동형 사본을 포함하거나 $ c_0 $ 의 동형 사본을 포함한다.
• $ \frak M = \{ A \subset \mathbb{N} : |A| \leq n \} $ 이고 $ \theta > 1/n $ 이면, 공간 $ T_{\frak M}^\theta $ 는 $ 1/p + \log_n(1/\theta) = 1 $ 인 $ \ell^p $ 와 동형이다.
• $ c_{00} $ 에서 정의된 노름 $ \|x\| = \max\{ \|x\|_\infty, \frac{1}{n^{1/q}} \sup \sum_{i=1}^d \|E_i x\| \} $ (여기서 $ d \leq n $) 는 $ 1/p + 1/q = 1 $ 이면 $ \ell^p $-노름과 동치이다.