[논문 리뷰] Bayesian Inference for partially observed SDEs Driven by Fractional Brownian Motion

Alexandros Beskos, Joseph Dureau외 1명|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 30.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 37인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 분수 Brown 운동(fBm)에 의해 구동되는 부분 관측된 확률 미분 방정식(SDE)에 대한 계산적으로 효율적인 베이지안 추론 방법을 개발한다. 재파arameterization 기법으로 Davies와 Harte 알고리즘을 사용하고, 메쉬 없는 하이브리드 몽테카를로 샘플러를 적용한다. 이 방법은 높은 차원의 사후 분포 추론이 안정적으로 가능하게 하며, S&P500/VIX 데이터에서 H < 1/2를 지지함으로써 중간 범위의 의존성을 나타낸다.

ABSTRACT

We consider continuous-time diffusion models driven by fractional Brownian motion. Observations are assumed to possess a non-trivial likelihood given the latent path. Due to the non-Markovianity and high-dimensionality of the latent paths, estimating posterior expectations is a computationally challenging undertaking. We present a reparameterization framework based on the Davies and Harte method for sampling stationary Gaussian processes and use this framework to construct a Markov chain Monte Carlo algorithm that allows computationally efficient Bayesian inference. The Markov chain Monte Carlo algorithm is based on a version of hybrid Monte Carlo that delivers increased efficiency when applied on the high-dimensional latent variables arising in this context. We specify the methodology on a stochastic volatility model allowing for memory in the volatility increments through a fractional specification. The methodology is illustrated on simulated data and on the S&amp;P500/VIX time series and is shown to be effective. Contrary to a long range dependence attribute of such models often assumed in the literature, with Hurst parameter larger than 1/2, the posterior distribution favours values smaller than 1/2, pointing towards medium range dependence.

연구 동기 및 목표

• 분수 Brown 운동에 의해 구동되는 부분 관측된 SDE에서의 베이지안 추론에 대한 계산적 과제를 해결하기 위해, 비마르코프성과 높은 차원의 은닉 경로를 포함하는 문제를 다루는 것.
• 시간 포인트 수가 증가함에 따라 혼합 시간이 안정을 유지하는 마르코프 체인 몽테카를로(MCMC) 알고리즘을 개발하여, 비마르코프성에 기인한 문제와 높은 차원의 경로 추론 문제를 극복하는 것.
• 최소 제곱법과 같은 비우도 기반 방법을 피하기 위해, 허스트 지수 H를 포함한 모든 매개변수에 대한 완전한 베이지안 추론을 가능하게 하는 것.
• 은닉 fBm 경로를 고차원의 은닉 변수로 간주하는 데이터 증강 기법을 구축하여, 우도가 전체 경로에 비트리비어리하게 의존하도록 하는 것.
• 분수 동역학을 포함하는 확률적 변동성 모델에 적용하여, H를 통해 변동성 증분에 기억성(memory)을 도입하는 것.

제안 방법

• 분수 Brown 운동 경로의 효율적 샘플링을 가능하게 하기 위해, Davies와 Harte 알고리즘을 활용한 재파arameterization를 사용한다.
• 하이브리드 몽테카를로(HMC) 알고리즘을 적용하여 은닉 경로와 매개변수를 함께 갱신하며, 메쉬 없는 혼합 시간을 보장한다.
• 크기 N의 격자상에서 연속 경로의 시간 이산화 근사화를 사용하며, 데이터 증강을 통한 사후 분포 계산: p(θ, X | Y) ∝ p(Y | X, θ) p(X | θ) p(θ).
• 무한 차원 가우시안 측도를 다룰 확률적 접근법을 사용하고 체적 보존 조건을 확보하여, 목표 측도 Q_N(x,v) = exp{-H(x,v;M)}를 유지하는 HMC의 변형을 구현한다.
• 전이 지도의 반복 적용을 통해 밀도 비율 dQ^(i)/dQ_0를 유도하며, 속도 갱신에서 기술된 Girsanov 유형의 측도 변화에 대한 명시적 표현을 도출한다.
• Cameron–Martin 공간 이론을 활용하여, ∇_zΦ(z,θ) ∈ ℓ₂ 조건 하에 Girsanov 보정 항이 잘 정의되고 유한함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 은닉 경로가 무한 차원이면서 비마르코프성인 분수 Brown 운동에 의해 구동되는 부분 관측 SDE에 대해, 효율적인 베이지안 추론이 가능할 수 있는가?
• RQ2 시간 포인트 수가 증가함에 따라 혼합 시간이 악화되지 않도록, fBm의 비마르코프성 구조를 MCMC 샘플링에서 어떻게 다룰 수 있는가?
• RQ3 고차원의 은닉 fBm 경로를 베이지안 추론 맥락에서 안정적이고 효율적으로 샘플링할 수 있는 재파arameterization 전략은 무엇인가?
• RQ4 fBm에 의해 구동되는 SDE에 적용되었을 때, 하이브리드 몽테카를로 알고리즘이 무한 차원 상태 공간에서도 양호한 혼합 성질을 유지하는가?
• RQ5 실제 금융 데이터에서 허스트 매개변수 H에 대한 사후 추론은 어떻게 되며, 이는 중간 범위 의존성 또는 장기 의존성을 지지하는가?

주요 결과

• Davies와 Harte 재파arameterization 및 하이브리드 몽테카를로 기반의 제안된 MCMC 알고리즘은 메쉬 없는 혼합 시간을 달성하여, 시간 포인트 수 N이 증가함에 따라 안정적인 성능을 유지한다.
• 이 방법은 최소 제곱법과 같은 비우도 기반 추정 기법을 피함으로써, 모든 매개변수, 특히 허스트 지수 H에 대한 완전한 베이지안 추론을 가능하게 한다.
• 확률적 변동성 모델에서 H의 사후 분포는 1/2 이하의 값을 지지하여, 변동성 과정이 중간 범위 의존성을 나타낸다.
• S&P500/VIX 데이터에 대한 실증 분석 결과, H < 1/2에 강한 사후 지지를 보이며, 이는 변동성 증분이 음의 자기상관성을 가지며 지수 함수보다 느리게 감쇠함을 시사한다.
• 이론적 분석을 통해 HMC 알고리즘이 밀도 비율 dQ^(i)/dQ_0의 재귀적 유도를 통해 목표 측도 Q_N를 유지함을 확인하였으며, 로그 밀도에서의 상쇄 효과로 잘 정의된 해밀토니안 구조가 도출된다.
• 이 방법은 다중 허스트 매개변수를 포함한 고차원 시스템에도 적용 가능하지만, 이에 따라 계산 비용이 증가한다.