[논문 리뷰] Bermudan options by simulation

L. C. G. Rogers|arXiv (Cornell University)|2015. 08. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 15인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 마코프 근사와 이중성에 기반한 시뮬레이션 기반 방법을 제시하여 고차원 베르무단 옵션의 가격을 추정한다. 기저 자산의 상태를 분할하여 정지 규칙과 헤징 규칙을 생성함으로써, 차원에 관계없이 몇 초 내에 정확한 상한 및 하한 가격을 도출할 수 있으며, 일반적으로 상하한 가격이 5–10% 이내로 수렴하고 자산 수에 영향을 받지 않는다.

ABSTRACT

The aim of this study is to devise numerical methods for dealing with very high-dimensional Bermudan-style derivatives. For such problems, we quickly see that we can at best hope for price bounds, and we can only use a simulation approach. We use the approach of Barraquand & Martineau which proposes that the reward process should be treated as if it were Markovian, and then uses this to generate a stopping rule and hence a lower bound on the price. Using the dual approach introduced by Rogers, and Haugh & Kogan, this approximate Markov process leads us to hedging strategies, and upper bounds on the price. The methodology is generic, and is illustrated on eight examples of varying levels of difficulty. Run times are largely insensitive to dimension.

연구 동기 및 목표

• 기하급수적 증가(커스 오브 디멘셔널리티)로 인해 전통적인 동적 프ogramming이 실패하는 고차원 환경에서 베르무단 스타일 파생상품을 가격화하기 위한 일반적인 수치적 방법을 개발하는 것.
• 가격 함수의 명시적 해를 구하지 않더라도 계산 효율적인 상한 및 하한을 제공하는 것.
• 기저 마코프 과정의 단순 시뮬레이션만을 통해 최적의 정지 및 헤징 전략을 실현 가능한 방식으로 구현하는 것.
• 기저 자산의 수에 관계없이 다양한 금융 파생상품에 대해 효과적이고 확장 가능한 방법을 유지하는 것.
• 모델 불확실성과 추정 오차에 강건한 프레임워크를 제공하여 현실적인 시장 스프레드를 반영한 가격 한계를 제공하는 것.

제안 방법

• 상태공간을 분할하여 보상 과정을 마코프 성질을 갖도록 근사함으로써 전이 확률을 시뮬레이션 기반으로 계산할 수 있도록 한다.
• Barraquand & Martineau의 접근법을 사용하여 분할된 마코프 과정 기반의 정지 규칙을 유도하고, 이로 인해 옵션 가격의 하한을 도출한다.
• Rogers의 이중 방법 및 Haugh & Kogan의 접근법을 적용하여 동일한 분할된 과정에서 유도된 헤징 전략을 통해 상한을 생성한다.
• 모든 문제에 동일한 코드를 사용하여 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 상하한을 평가하며, 오직 기저 과정과 수익 함수만 변경한다.
• 이 방법은 차원에 무관함: 고차원 가치 함수의 저장 또는 해를 구하는 것을 피하기 때문에 수백 개의 기저 자산이 있는 문제에서도 계산 비용이 낮게 유지된다.
• 기저 마코프 과정의 한 스텝을 시뮬레이션할 수 있는 능력에 의존하므로, 복잡한 파생상품에 광범위하게 적용 가능하다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기하급수적 증가로 인해 기존의 동적 프로그래밍이 비현실적이게 되는 고차원 베르무단 옵션을 효과적으로 가격화할 수 있는가?
• RQ2 가격 함수의 전체 해를 구하지 않더라도 시뮬레이션 기반 방법이 얼마나 날카운 가격 한계를 제공할 수 있는가?
• RQ3 고차원 환경에서 단순하면서도 효과적인 실용적인 정지 및 헤징 규칙을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ4 모델 근사 및 이산화 과정이 현실적인 금융 환경에서 가격 한계의 정확성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 문제에 특화된 튜닝을 최소화하면서도 다양한 파생상품에 적용 가능한 일반적이고 재사용 가능한 알고리즘을 설계할 수 있는가?

주요 결과

• 상한 및 하한 가격이 일반적으로 5–10% 이내로 수렴하며, 실무에서의 추정 및 모델 불확실성과 일치하는 범위를 보인다.
• 계산 시간은 차원에 거의 영향을 받지 않으며, 수백 개의 기저 자산이 있는 문제에서도 일반적으로 수십 초 내에 완료된다.
• 시뮬레이션과 분할 과정에서 직접 도출된 명시적이고 실현 가능한 정지 및 헤징 규칙을 제공한다.
• 이 방법은 완전히 일반적이다: 기저 과정과 수익 함수만 변경하면 동일한 코드로 어떤 베르무단 옵션도 가격 산정이 가능하다.
• 가격 한계는 모델 불확실성에 강건하며, 가장 큰 오차 원인은 보상 과정의 마코프 근사에 기인하며, 시뮬레이션 또는 분할 과정의 오차는 아님을 확인했다.
• 고정 스테이크 베르무단 아시안 옵션과 같은 문제에서는 상태공간이 충분히 표현되지 않으면 성능이 저하되며, 더 풍부한 상태 표현이 필요함을 시사한다.