[논문 리뷰] Bezier curves and surfaces based on modified Bernstein polynomials

Khalid Khan, D. K. Lobiyal외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 11. 20.

Advanced Numerical Analysis Techniques참고 문헌 13인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 이동된 균일한 기저 함수를 사용하여 확장된 매개변수 간격에서 형태 유지 근사가 가능한 새로운 Bézier 곡선 및 곡면의 가족을 소개한다. 이 접근법은 형태 매개변수 α와 β를 포함하여 고전적 Bézier 곡선을 일반화하며, de Casteljau 알고리즘, 차수 상승 및 차수 감소 기법을 수립한다. 고전적 Bézier 곡선은 α = β = 0일 때 복원된다.

ABSTRACT

In this paper, we use the blending functions of Bernstein polynomials with shifted knots for construction of Bezier curves and surfaces. We study the nature of degree elevation and degree reduction for Bezier Bernstein functions with shifted knots. Parametric curves are represented using these modified Bernstein basis and the concept of total positivity is applied to investigate the shape properties of the curve. We get Bezier curve defined on [0, 1] when we set the parameter α=βto the value 0. We also present a de Casteljau algorithm to compute Bernstein Bezier curves and surfaces with shifted knots. The new curves have some properties similar to Bezier curves. Furthermore, some fundamental properties for Bernstein Bezier curves and surfaces are discussed.

연구 동기 및 목표

• 이동된 균일한 기저 함수를 사용하여 개선된 형태 제어를 위한 일반화된 Bézier 곡선 및 곡면 모델을 개발한다.
• 비표준 간격에서 이러한 수정된 기저 함수에 대한 차수 상승 및 차수 감소 성질을 조사한다.
• 이동된 균일한 기저 함수를 사용하여 Bézier 곡선 및 곡면의 점을 계산하기 위해 de Casteljau 알고리즘을 일반화한다.
• 볼록 hull, 모서리 보존, 등파arametric 곡선 행동과 같은 기하학적 및 형태 유지 성질을 분석한다.
• α = β = 0일 때 고전적 Bézier 곡선 및 곡면이 복원됨을 보여준다.

제안 방법

• 수정된 Bernstein 기저 함수는 $ G_{n,\alpha,\beta}^{k}(t) = \binom{n}{k} \left(\frac{n+\beta}{n}\right)^n \left(t - \frac{\alpha}{n+\beta}\right)^k \left(\frac{n+\alpha}{n+\beta} - t\right)^{n-k} $로 정의되며, $ t \in \left[\frac{\alpha}{n+\beta}, \frac{n+\alpha}{n+\beta}\right] $ 범위에서 유효하다.
• de Casteljau 알고리즘은 수정된 기저 함수를 사용하여 제어점 간의 재귀적 혼합을 통해 Bézier 곡선 및 곡면의 점을 계산하기 위해 확장된다.
• 차수 상승은 새로운 제어점 $ \mathbf{P}_{i,j}^{\ast} $를 파arameter $ \alpha_i = 1 - \frac{m+1-i}{m+1} $ 및 $ \beta_j = 1 - \frac{n+1-j}{n+1} $를 포함한 가중 조합을 통해 유도한다.
• 텐서 곱 Bézier 곡면은 일변수 수정 기저 함수의 곱을 사용하여 구성되며, 볼록 hull 및 모서리 보존과 같은 성질을 유지한다.
• 총 양성 및 형태 유지 성질은 수정된 기저 함수의 구조와 그 비음성 및 단위 분할 성질을 사용하여 분석된다.
• 이 방법은 매개변수 영역을 α와 β를 통해 이동시킴으로써 고전적 Bézier 곡선을 일반화하며, α = β = 0일 때 고전적 경우로 복원된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 이동된 균일한 기저 함수를 사용하여 Bernstein 기저 함수를 수정하여 Bézier 곡선의 정의 영역을 [0,1]을 초월할 수 있는가?
• RQ2 이동된 균일한 기저 함수를 사용하는 수정된 Bernstein 다항식에 기반한 Bézier 곡선의 차수 상승 및 차수 감소 성질은 무엇인가?
• RQ3 이러한 수정된 기저 함수를 사용하여 Bézier 곡선 및 곡면의 점을 계산하기 위해 de Casteljau 알고리즘을 일반화할 수 있는가?
• RQ4 새로운 Bézier 모델에서 어떤 기하학적 및 형태 유지 성질이 유지되거나 수정되는가?
• RQ5 매개변수 $ \alpha $와 $ \beta $는 결과 곡선 및 곡면의 형태와 행동에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 수정된 Bernstein 기저 함수 $ G_{n,\alpha,\beta}^{k}(t) $는 간격 $ \left[\frac{\alpha}{n+\beta}, \frac{n+\alpha}{n+\beta}\right] $에서 비음성이며 단위 분할 성질을 만족한다.
• 기저 함수는 끝점 보존 성질을 보이며, $ t = \frac{\alpha}{n+\beta} $ 및 $ t = \frac{n+\alpha}{n+\beta} $일 때 곡선이 첫 번째 및 마지막 제어점을 통과함을 보장한다.
• 텐서 곱 Bézier 곡면 $ \mathbf{P}(u,v) = \sum_{i=0}^{m}\sum_{j=0}^{n} \mathbf{P}_{i,j} G_{m,\alpha,\beta}^{i}(u) G_{n,\alpha,\beta}^{j}(v) $는 볼록 hull 성질과 모서리 점 보존을 만족한다.
• 곡면의 등파라미터 곡선은 이동된 균일한 기저 함수를 갖는 Bézier 곡선이므로, 모델의 계층적 구조가 확인된다.
• α = β = 0일 때, 수정된 기저 함수는 고전적 Bernstein 다항식으로 감소하며, 모델은 표준 Bézier 곡선 및 곡면으로 복원된다.
• 이동된 균일한 기저 함수를 사용하여 이동된 균일한 기저 함수를 사용하여 Bézier 곡면의 점을 평가하기 위한 새로운 de Casteljau 알고리즘이 유도되었다.