[논문 리뷰] Bifurcation results for a fractional elliptic equation with critical exponent in R^n

Serena Dipierro, María Medina외 2명|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 12.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 28인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 $\mathbb{R}^n$ 에서 임계 스케일 소볼레프 지수와 비임계 교란항을 가진 분수형 타원형 방정식에 대한 양해를 존재함을 입증하며, 르리프-숄츠 감소와 새로운 분수형 정규성 이론을 사용한다. 주요 결과는 작은 $\epsilon > 0$ 에 대해 최소한 하나의 양해가 분기되며, 교란항 $h$ 가 부호를 바꾸고 $q > \frac{2s}{n-2s}$ 일 때 두 번째 해가 나타남을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we study some nonlinear elliptic equations in $\R^n$ obtained as a perturbation of the problem with the fractional critical Sobolev exponent, that is $$ (-Δ)^s u = ε\,h\,u^q + u^p \ {in}\R^n,$$ where $s\in(0,1)$, $n>4s$, $ε>0$ is a small parameter, $p=\frac{n+2s}{n-2s}$, $0

연구 동기 및 목표

• 분수형 타원형 방정식에 대한 양해의 존재를 $\mathbb{R}^n$ 에서 입증한다. 이 방정식은 임계 지수와 비임계 교란항을 포함한다.
• 작은 매개변수 $\varepsilon > 0$ 이 변화함에 따라 해의 분기 행동을 분석한다. 특히 컴acts지지된 교란항 $h$ 가 존재할 경우를 고려한다.
• 에너지 함수가 정규성을 잃는 경우 $0 < q < 1$ 에 대해 새로운 분수형 타원형 정규성 이론을 개발한다.
• 교란항 $h \geq 0$ 이고 $h \not\equiv 0$ 일 때 최소한 하나의 양해가 존재함을 증명하고, $h$ 가 부호를 바꾸며 $q > \frac{2s}{n-2s}$ 일 때 두 번째 해가 존재함을 입증한다.

제안 방법

• 기저 해 $z_{\mu,\xi}$ 의 다양체 위에서 무한차원 문제를 유한차원 문제로 감소시키기 위해 르리프-숄츠 감소 방법을 사용한다.
• 문제의 변분적 구조와 기저 해 $z_{\mu,\xi}$ 의 비퇴화성을 이용하여 임계점 이론을 통해 해를 구성한다.
• $0 < q < 1$ 일 때 에너지 함수가 정규성을 잃는 문제에 대응하기 위해 새로운 함수 해석적 설정을 도입하여 분수형 타원형 정규성 이론의 적용을 가능하게 한다.
• $\mu \to 0$ 일 때 감소된 함수 $\Gamma(\mu, \xi)$ 의 행동을 점근적 분석과 수렴 정리 또는 파투의 보조정리로 분석한다.
• 적절한 컴팩트 집합 $S$ 상에서 $\Gamma$ 에 대해 컴팩턴스와 최대/최소 원리 성립을 확립하여 임계점을 찾는다.
• 제4.2조를 적용하여 감소된 함수의 임계점을 원래 방정식의 해로 올려놓는다: $(-\Delta)^s u = \varepsilon h u_+^q + u_+^p$.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 작은 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $\mathbb{R}^n$ 에서 분수형 타원형 방정식 $(-\Delta)^s u = \varepsilon h u_+^q + u_+^p$ 가 양해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 교란항 $h$ 의 부호와 지지집합이 기저 해로부터 분기하는 양해의 수에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ3 분수형 임계 문제의 맥락에서 $0 < q < 1$ 의 경우를 다루기 위해 필요한 함수 해석학적 및 정규성 도구는 무엇인가?
• RQ4 비연속적인 비선형항과 임계 성장 조건을 가진 분수형 PDE에 대해 르리프-숄츠 감소 방법을 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ5 $\mu \to 0$ 일 때 감소된 함수 $\Gamma(\mu, \xi)$ 의 점근적 행동은 어떠한가? 이는 해의 존재성을 어떻게 결정하는가?

주요 결과

• $n > 4s$, $\varepsilon > 0$ 이 작고, $0 < q < p = \frac{n+2s}{n-2s}$ 이며, $h$ 가 연속이고 컴팩트 지지집합을 가지며 $h_+ \not\equiv 0$ 이면 최소한 하나의 양해가 존재한다.
• $0 < q \leq \frac{2s}{n-2s}$ 이고 $h \geq 0$ 이면 감소된 함수 $\Gamma(\mu, \xi)$ 는 $h(\xi_0) > 0$ 일 때 $\lim_{\mu \to 0} \frac{\Gamma(\mu, \xi_0)}{\mu^{n - \gamma_s}} = +\infty$ 를 만족하여 매개변수 영역 내부에 최댓값이 존재함을 보장한다.
• $q > \frac{2s}{n-2s}$ 이고 $h$ 가 부호를 바꾸면 함수 $\Gamma$ 는 매개변수 영역 내부에 국소 최솟값을 가지며, 이는 두 번째 양해의 존재를 이끈다.
• 해의 존재성은 유한차원 감소와 임계점 정리의 적용에 의해 입증되며, 이는 기저 해 $z_{\mu,\xi}$ 의 비퇴화성에 기반한다.
• $\Gamma(\mu, \xi)$ 의 점근적 분석은 $\mu \to 0$ 일 때 $h(\mu y + \xi_0) z_0^{q+1}(y)$ 가 $L^1$ 에서 $h(\xi_0) z_0^{q+1}(y)$ 로 수렴함을 기반으로 하며, 이는 수렴 정리에 의해 정당화된다.
• 논문은 $u_{1,\varepsilon} = z_{\mu_*, \xi_*} + w(\varepsilon, z_{\mu_*, \xi_*})$ 라는 해를 구성하였으며, 이는 양이며 $\varepsilon \to 0$ 일 때 기저 해로 수렴한다.