[논문 리뷰] Bilinear systems with two supports: Koszul resultant matrices, eigenvalues, and eigenvectors

Matías R. Bender, Jean‐Charles Faugère외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 14.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 28인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 서로 다른 지지집합을 가진 혼합 다중동차 이항형 시스템에 대해 Weyman의 복합체로부터 유도된 Koszul 결과행렬을 사용하여 처음으로 결정식 공식을 제시한다. 고전적인 고유값-고유벡터 기준을 Koszul 유형의 행렬으로 확장함으로써 0차원 시스템을 선형대수학을 통해 해결할 수 있도록 하였으며, 실험 결과 Gröbner 기반 방법에 비해 행렬 크기가 크게 감소하는 것으로 나타났다.

ABSTRACT

A fundamental problem in computational algebraic geometry is the computation of the resultant. A central question is when and how to compute it as the determinant of a matrix. whose elements are the coefficients of the input polynomials up-to sign. This problem is well understood for unmixed multihomogeneous systems, that is for systems consisting of multihomogeneous polynomials with the * 1 same support. However, little is known for mixed systems, that is for systems consisting of polynomials with different supports. We consider the computation of the multihomogeneous resultant of bilinear systems involving two different supports. We present a constructive approach that expresses the resultant as the exact determinant of a Koszul resultant matrix, that is a matrix constructed from maps in the Koszul complex. We exploit the resultant matrix to propose an algorithm to solve such systems. In the process we extend the classical eigenvalues and eigenvectors criterion to a more general setting. Our extension of the eigenvalues criterion applies to a general class of matrices, including the Sylvester-type and the Koszul-type ones.

연구 동기 및 목표

• 두 개의 서로 다른 지지집합을 가진 혼합 다중동차 이항형 시스템에 대해 이전에는 존재하지 않았던 결정식 공식을 개발하는 것.
• 고전적인 고유값-고유벡터 기준을 Koszul 유형의 행렬로 확장하여 선형대수학을 통한 시스템 해법을 가능하게 하는 것.
• Weyman의 복합체로부터 유도된 Koszul 결과행렬의 정확한 행렬식으로서 다중동차 결과를 계산하는 구조적 방법을 제공하는 것.
• 결과행렬의 고유값과 고유벡터를 이용하여 0차원 정사각형 다항식 시스템을 해결하는 알고리즘을 설계하는 것.
• Koszul 결과행렬의 크기를 Gröbner 기반 행렬과 비교하여 계산적 이점이 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• Weyman의 복합체를 통해 유도된 혼합 시스템에 대한 Koszul 복합체의 사상들을 사용하여 Koszul 결과행렬을 구성하는 것.
• 행렬 분할과 주어진 블록의 가역성에 기반하여 Sylvester 유형 및 Koszul 유형의 행렬 모두에 적용 가능한 일반화된 고유값 기준을 도입하는 것.
• 결과행렬을 행렬식으로서 사용할 수 있도록 하기 위해, 과잉정의된 시스템을 만들기 위해 삼중선형 다항식 $ f_0 $ 를 사용하는 것.
• Koszul 결과행렬의 고유값과 고유벡터를 계산하고, 사영과 일변도 다항식 시스템의 해법을 통해 좌표를 복원함으로써 해를 복원하는 것.
• 행렬 분할 $ M = \begin{bmatrix} M_{1,1} & M_{1,2} \\ M_{2,1} & M_{2,2} \end{bmatrix} $ 을 적용하여 $ M_{1,1} $ 이 가역임을 보장하고, 고유벡터를 추출하며 좌표를 복원하는 것.
• FGb의 Gröb너 기반 계산과의 비교를 통해 실험적으로 방법을 검증하여, 항상 크기가 감소하는 것으로 나타내는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 두 개의 서로 다른 지지집합을 가진 혼합 다중동차 이항형 시스템에 대해 결정식 공식을 구성할 수 있는가?
• RQ2 고전적인 고유값-고유벡터 기준은 어떻게 Koszul 유형의 행렬으로 일반화될 수 있는가?
• RQ3 Koszul 결과행렬의 구조와 0차원 다항식 시스템의 해법 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 이러한 시스템에 대해 Koszul 결과행렬의 크기는 Gröbner 기반 계산에서 유도된 행렬의 크기와 비교하여 어떻게 되는가?
• RQ5 Weyman의 복합체로부터 유도된 Koszul 유형의 행렬에서 결과를 정확한 행렬식으로 계산할 수 있는가?

주요 결과

• 이 논문은 Weyman의 복합체로부터 유도된 Koszul 결과행렬을 사용하여 두 지지집합을 가진 혼합 다중동차 이항형 시스템에 대해 처음으로 결정식 공식을 제시한다.
• 고유값-고유벡터 기준이 Koszul 유형을 포함한 일반적인 행렬 클래스로 확장되어 0차원 시스템을 선형대수학을 통해 해결할 수 있도록 한다.
• n = 12 인 경우, Koszul 결과행렬은 FGb의 Gröb너 기반 계산에서의 최대 행렬 크기보다 최대 5.1배 작다.
• 시험된 여러 사례에서 FGb의 행렬 크기 대비 Koszul 행렬 크기의 비율은 2 이하였으며, 일부 사례에서는 크기가 2.7배 감소하였다.
• 고유값과 고유벡터를 계산하고 사영 및 일변도 다항식 시스템의 해법을 통해 좌표를 복원함으로써 해를 성공적으로 복원하였다.
• 실험 결과, Koszul 결과행렬가 Gröb너 기반 방법에 비해 상당히 작음을 보여주었으며, 실질적으로 더 빠른 선형대수 계산이 가능할 잠재력을 보여준다.