[논문 리뷰] Towards Mixed Gr{ö}bner Basis Algorithms: the Multihomogeneous and Sparse Case

Matías R. Bender, Jean‐Charles Faugère외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 05. 09.

Polynomial and algebraic computation참고 문헌 33인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 혼합 희소 및 다중동차 다항식 시스템에서 그로버 기저를 계산하기 위한 두 가지 새로운 알고리즘을 제안한다. 다각형 대수와 매트릭스 F5 유사 접근법을 활용하여 정규 조건 하에서 불필요한 0으로의 환원을 피한다. 주요 기여는 명시적인 차수 한계를 갖는 희소 그로버 기저 계산과 효율적인 정규형 계산을 가능하게 하여, 부과된 환원 없이 0차원 시스템을 더 빠르게 해결할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

One of the biggest open problems in computational algebra is the design of efficient algorithms for Gr{ö}bner basis computations that take into account the sparsity of the input polynomials. We can perform such computations in the case of unmixed polynomial systems, that is systems with polynomials having the same support, using the approach of Faug{è}re, Spaenlehauer, and Svartz [ISSAC'14]. We present two algorithms for sparse Gr{ö}bner bases computations for mixed systems. The first one computes with mixed sparse systems and exploits the supports of the polynomials. Under regularity assumptions, it performs no reductions to zero. For mixed, square, and 0-dimensional multihomogeneous polynomial systems, we present a dedicated, and potentially more efficient, algorithm that exploits different algebraic properties that performs no reduction to zero. We give an explicit bound for the maximal degree appearing in the computations.

연구 동기 및 목표

• 입력 다항식의 지지 집합이 서로 다를 수 있는 혼합 다항식 시스템으로 희소 그로버 기저 계산을 무혼합에서 확장한다.
• 다항식 시스템의 희소성과 다중동차적 구조를 활용하여 불필요한 0으로의 환원을 피할 수 있는 알고리즘을 설계한다.
• 계산 과정에서 나타나는 최대 차수에 대한 명시적인 차수 한계를 제공하여 복잡도 추정을 향상시킨다.
• 희소성과 다중동차적 시스템에 특화된 매트릭스 기반의 F5 유사 알고리즘 ($\texttt{M}^{2}$)을 개발한다.
• 해 homogenization 이후에 기저가 몰입된 몰입된 몰입 기저를 형성할 수 있는 조건을 설정한다.

제안 방법

• 입력 다항식의 지지 집합에 있는 단항식과 대응되는 변수를 갖는 다각형 대수 프레임워크를 도입하여 희소 그로버 기저 계산을 가능하게 한다.
• 지지 집합에 맞는 단항식 순서를 기반으로 한 수정된 나눗셈 알고리즘을 사용하여 다각형 대수 위에서 정규형을 계산한다.
• 희소 F5 기준을 적용한 매트릭스 F5 유사 알고리즘 ($\texttt{M}^{2}$)을 사용하여 불필요한 0으로의 환원을 피한다.
• 해 homogenization과 dehomogenization을 활용하여 다각형 대수 내의 희소 기저를 원래 이상과 연결한다.
• 블록 행렬의 슈어 여부를 사용하여 몰입된 몰입 기저에서 다항식의 곱셈 맵을 계산한다.
• 시스템이 무한원에서 해를 갖지 않을 경우, 몰입된 단항식이 몰입된 몰입 기저를 형성할 수 있는 조건을 설정한다. 이는 시스템에서 유도된 핵심 행렬의 가역성에 기반한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항식 시스템의 지지 집합 구조를 활용하여 혼합 희소 다항식 시스템의 그로버 기저 계산을 더 효율적으로 만들 수 있는가?
• RQ2 혼합 시스템의 희소 그로버 기저 알고리즘에서 0으로의 환원을 피할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 다중동차 시스템의 희소 그로버 기저 계산에서 중간 다항식의 최대 차수는 얼마인가?
• RQ4 블록 행렬의 구조를 활용하여 몰입된 몰입 기저에서의 곱셈 맵을 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 완전한 계산 없이도 희소 그로버 기저에서 몰입된 몰입 기저를 회복할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 정규 조건 하에서 0으로의 환원 없이 희소 그로버 기저를 계산하여 계산 오버헤드를 크게 줄인다.
• 0차원, 정사각형, 다중동차 시스템의 경우, 다중등급 구조와 시스템의 대수적 성질을 활용하여 0으로의 환원을 피할 수 있다.
• 다중등급 캐스텔누오보-무르피드 정규성의 개념을 사용하여 계산 과정에서 나타나는 최대 차수에 대한 명시적 상한을 유도한다.
• 시스템이 무한원에서 해를 갖지 않을 경우, 기저에서 얻은 몰입된 단항식들이 몰입된 몰입 기저를 형성한다.
• 알고리즘 내 블록 행렬의 슈어 여부는 몰입된 몰입 기저에서 다항식의 곱셈 맵을 계산하는 데 사용된다.
• 시스템이 무한원에서 해를 갖지 않을 경우, 행렬 $M_{2,2}^{f_0}$는 가역적이며, 이는 기저와 맵 계산의 정확성을 보장한다.