[논문 리뷰] Bimodules over Hom-Jordan and Hom-alternative algebras

Sylvain Attan|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 03.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 Hom-Jordan 및 Hom-대칭 대수에 대한 이중모듈을 도입하여, 고전적 Jordan 및 대칭 대수에 대한 이중모듈이 대수의 자기형사상에 의해 그들의 Hom-일반화로 변형될 수 있음을 보여준다. 주요 기여는 Hom-Jordan 대수와 그 이중모듈의 분할 영 확장이 다시 한 Hom-Jordan 대수임을 증명하는 것으로, 고전적 모듈 확장을 Hom-대수 설정으로 일반화한다.

ABSTRACT

In this paper, bimodules over Hom-Jordan algebras and the ones over Hom-alternative algebras are defined. It is shown that bimodules over Jordan and alternative algebras are twisted into bimodules over Hom-Jordan and Hom-alternative algebras via endomorphisms respectively. Some relations between bimodules over Hom-associative, Hom-Jordan and Hom-alternative algebras, are given.

연구 동기 및 목표

• Hom-대칭 및 Hom-Jordan 대수에 대한 이중모듈을 정의하고 연구하여, 고전적 모듈 이론을 Hom-대수 프레임워크로 확장한다.
• 고전적 대칭 및 Jordan 대수에 대한 이중모듈이 자기형사상에 의해 그들의 Hom-일반화로 변형되는 변형 구조를 수립한다.
• Hom-Jordan 대수와 그 이중모듈의 분할 영 확장이 새로운 Hom-Jordan 대수를 이룬다는 것을 증명하여, 고전적 대수적 확장을 Hom-대수 설정으로 일반화한다.
• Hom-결합, Hom-대칭, 그리고 Hom-Jordan 대수에 대한 이중모듈 간의 구조적 관계를 명확히 한다.

제안 방법

• 왜곡된 작용을 사용하여 Hom-대칭 및 Hom-Jordan 대수에 대한 이중모듈을 정의하며, 이는 왜곡 사상 α와 가환한다.
• 반대칭자 구조 x∗y = xy + yx를 사용하여 Hom-대칭 대수의 플러스 대수가 Hom-Jordan 대수임을 보인다.
• 고전적 대칭 대수에 대한 모듈이 자기형사상 α와 호환될 경우, 그 왜곡된 모듈 구조가 해당 Hom-대칭 대수에 대한 이중모듈을 정의함을 증명한다.
• 확장된 대수 A⊕V에서 Hom-Jordan 항등식을 증명하기 위해, 이중선형성과 모듈 사상이 α와의 호환성에 기반하여 연관자(associator)가 0이 됨을 검증한다.
• 분할 영 확장 μ̃(a+m,b+n) = ab + a·n + m·b 와 α̃(a+m) = α_A(a) + α_V(m)를 구성하여, 곱법성과 Hom-Jordan 항등식에 대한 닫힘성을 보인다.
• α_V^n = Id_V 를 이용하여 반복된 왜곡된 작용 ρ̃_l^n 및 ρ̃_r^n을 정의하고, 이들이 왜곡된 모듈에 이중모듈 구조를 부여함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 Jordan 및 대칭 대수에 대한 이중모듈은 어떻게 Hom-대수 설정으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 고전적 대수의 자기형사상 α가 해당 Hom-대수에 대한 이중모듈 구조를 유도하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 Hom-Jordan 대수와 이중모듈의 분할 영 확장이 Hom-Jordan 항등식을 만족함을 어떻게 증명할 수 있는가?
• RQ4 Hom-Jordan 대수에 대한 왼쪽 및 오른쪽 특수 모듈이 이중모듈 구조를 갖기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 Hom-결합 대수에 대한 이중모듈과 Hom-Jordan 대수에 대한 이중모듈 간의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 고전적 대칭 대수에 대한 모듈이 자기형사상 α와 가환할 경우, 그에 의해 해당 Hom-대칭 대수에 대한 이중모듈이 유도된다.
• Hom-Jordan 대수 A와 이중모듈 V의 분할 영 확장은 A⊕V 위에 새로운 Hom-Jordan 대수 구조를 부여하며, 이는 Hom-Jordan 연관자의 소멸성에 의해 확인된다.
• α_V^n = Id_V 를 만족하는 어떤 n ∈ ℕ 가 존재할 경우, 왜곡된 작용 ρ̃_l^n 및 ρ̃_r^n은 Hom-모듈 V_α_V 가 Hom-Jordan 대수 A_α_A 위에서 이중모듈 구조를 갖게 한다.
• Hom-Jordan 대수 위의 왼쪽 및 오른쪽 특수 모듈이 왜곡 사상 α와 추가적인 호환 조건을 만족할 경우, 이중모듈 구조를 갖게 된다.
• 플러스 대수 구조 (x∗y = xy + yx) 는 임의의 Hom-대칭 대수를 Hom-Jordan 대수로 전환하며, 원래 대수에 대한 이중모듈은 플러스 대수로 옮겨서 이중모듈을 정의할 수 있다.
• 확장된 대수 A⊕V 에서의 Hom-연관자는 A 내의 성분 연관자와 모듈 호환 조건의 소멸성에 기반하여 0이 되며, 이는 Hom-Jordan 항등식이 성립함을 확인한다.