[논문 리뷰] Birkhoff normal form and splitting methods for semi linear Hamiltonian PDEs. Part I: Finite dimensional discretization

Erwan Faou, Benoît Grébert외 1명|ArXiv.org|2008. 11. 27.

Numerical methods for differential equations참고 문헌 12인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한 차원 Birkhoff 정규형을 통해 반선형 해밀턴 PDE에 대한 분할 방법의 장기 안정성을 확립한다. 초기 자료가 $L^2$에서 작고, 공간 이산화 파라미터 $K$가 크며, 스텝 크기의 비공진 조건이 $K$에 독립적으로 성립할 경우, 수치 해의 행동(진동 에너지)과 $L^2$ 노름이 임의로 긴 시간 동안 거의 보존된다는 것을 증명한다. 결과는 일반적인 비공진 조건 하에서 성립하며, 비선형 슈뢰딩거 방정식과 파동 방정식에 적용 가능하다.

ABSTRACT

We consider {\em discretized} Hamiltonian PDEs associated with a Hamiltonian function that can be split into a linear unbounded operator and a regular nonlinear part. We consider splitting methods associated with this decomposition. Using a finite dimensional Birkhoff normal form result, we show the almost preservation of the {\em actions} of the numerical solution associated with the splitting method over arbitrary long time, provided the Sobolev norms of the initial data is small enough, and for asymptotically large level of space approximation. This result holds under {\em generic} non resonance conditions on the frequencies of the linear operator and on the step size. We apply this results to nonlinear Schrödinger equations as well as the nonlinear wave equation.}

연구 동기 및 목표

• 유한한 공간 이산화를 가진 반선형 해밀턴 PDE에 분할 방법을 적용한 장기적 행동을 분석하는 것.
• 일반적인 비공진 조건 하에서 장기적으로 행동과 $L^2$ 노름이 거의 보존됨을 확립하는 것.
• 고전적인 유한 차원 정규형 기법을 渐近적으로 큰 공간 이산화 $K$의 영역으로 확장하는 것.
• 스텝 크기의 비공진 조건이 $K$에 독립적이며, 원래 문제의 무한 차원 성격을 유지함을 보이는 것.
• 해밀턴 PDE의 기하적 적분에서 분할 스킴의 장기 안정성에 대한 엄밀한 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 해밀토니안에서 비공진 항을 제거하기 위해 유한 차원 Birkhoff 정규형 변환을 사용한다. 이는 차수 $r$까지의 항까지 가능하다.
• 시간에 따라 변하는 생성함수 $\chi(\lambda)$를 적용하여 분할 방법의 흐름을 정규형으로 공액화한다.
• Neumann 유형의 급수를 통해 정규형 계수 $Z_{\boldsymbol{j}}$와 생성함수 $\chi_{\boldsymbol{j}}$를 구하기 위한 재귀적 절차를 구현한다.
• 주파수 $\Omega(\boldsymbol{j})$와 스텝 크기 $h$에 대한 비공진 조건을 도입하여, 이는 공간 이산화 파라미터 $K$에 독립적이며 변환의 유계성을 보장한다.
• 소벨레프 유형 노름에서의 추정을 통해 나머지 항 $R(\lambda)$를 제어하며, $\|z\|^{r+1}$의 순서이며 $K^\beta$에 의존하는 유계를 보인다.
• 형식적 멱급수의 바나흐 공간에서의 정규형 이론의 추상적 프레임워크를 사용하여, 작은 초기 자료 하에서 수렴성과 안정성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간 이산화 $K$가 크지만 유한할 때, 반선형 해밀턴 PDE에 대한 분할 방법이 임의로 긴 시간 동안 해의 행동을 보존할 수 있는가?
• RQ2 스텝 크기 $h$와 선형 연산자의 주파수에 어떤 조건이 성립할 경우 수치 해가 장기적으로 안정성을 유지하는가?
• RQ3 이산화 파라미터 $K$에 대한 의존성이 Birkhoff 정규형의 맥락에서 분할 스킴의 장기적 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 스텝 크기의 비공진 조건을 $K$에 독립적으로 만들 수 있는가, 이는 장기 안정성을 유지하는 데에 필수적이다.
• RQ5 이 조건 하에서 수치 해의 $L^2$ 노름이 장기 통합 시간 동안 얼마나 작게 유지되는가?

주요 결과

• 선형 연산자 $H_0^{(K)}$의 각 고유모드에 관련된 행동은 $t \leq C_r \varepsilon^{-r}$ 동안 거의 보존되며, 여기서 $\varepsilon$는 초기 $L^2$-노름이다.
• $L^2$-노름은 동일한 시간 간격 동안 $K$에 대해 균일하게 작게 유지되며, $K \leq \varepsilon^{-\sigma}$ (어떤 $r$에 의존하는 $\sigma > 0$) 조건을 만족할 경우에 성립한다.
• 정규형 전개에서의 나머지 항 $R(\lambda)$는 $\|z\| \leq c_0 K^{-\beta}$ 이면 $\|X_{R(\lambda)}(z)\| \leq C_0 K^\beta \|z\|^r$ 를 만족하며, $\beta > 1$ 는 $r$과 공간 차원 $d$에 따라 결정된다.
• $\chi$와 정규형 $Z$는 $\mathcal{T}_r$-노름에서 $C_0 K^\beta$로 유계이므로, $K \to \infty$일 때 변환의 안정성이 유지된다.
• 스텝 크기의 비공진 조건은 $K$에 독립적이며, 이는 $K \to \infty$의 점점 큰 근사치를 취할 때 장기 안정성 성질이 유지됨을 보장한다.
• 결과는 원주 위의 비선형 슈뢰딩거 방정식과 원 위의 비선형 파동 방정식에 대해 일반적인 비공진 조건 하에서 적용 가능하다.