[논문 리뷰] Birkhoff's invariant and Thorne's Hoop Conjecture

G. W. Gibbons|ArXiv.org|2009. 03. 09.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 25인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 Birkhoff의 불변량 $\beta$ 를 사용하여 Thorne의 호 추측를 정밀한 형태로 제안하며, 외부의 최외곽에 있는 미세하게 트랩된 표면에 대해 $\beta \leq 4\pi M_{\text{ADM}}$ 를 보여준다. 이 추측은 붕괴하는 영역이 없는 껍질과 정확한 해들인 Kerr-Newman 블랙홀을 통해 증명되며, Penrose와 등면적 부등식을 통해 기하학적 불변량과 질량 한계를 연결한다.

ABSTRACT

I propose a sharp form of Thorne's hoop conjecture which relates Birkhoff's invariant $β$ for an outermost apparent horizon to its $ADM$ mass, $ β\le 4 πM_{ADM}$. I prove the conjecture in the case of collapsing null shells and provide further evidence from exact rotating black hole solutions. Since $β$ is bounded below by the length $l$ of the shortest non-trivial geodesic lying in the apparent horizon, the conjecture implies $l \le 4 πM_{ADM}$. The Penrose conjecture, $\sqrt{πA} \le 4 πM_{ADM}$, and Pu's theorem imply this latter consequence for horizons admitting an antipodal isometry. Quite generally, Penrose's inequality and Berger's isembolic inequality, $\sqrt{πA} \ge {2\over\sqrtπ} i$, where $i$ is the injectivity radius, imply $ 4c \le 2 i \le 4 πM_{ADM}$, where $c$ is the convexity radius.

연구 동기 및 목표

• Thorne의 모호한 호 추측을 기하학적 불변량을 포함한 정확하고 수학적으로 엄밀한 부등식으로 정교화하는 것.
• 외부의 최외곽에 있는 상대적 표면의 ADM 질량과 Birkhoff 불변량 $\beta$ 사이의 관계를 설정하는 것.
• Kerr-Newman 블랙홀과 같은 정확한 해와 기하학적 부등식을 통해 추측에 대한 증거를 제공하는 것.
• 블랙홀 표면에서 가장 짧은 닫힌 지오데식의 길이, 그리고 임의성 반경과 볼록성 반경에 대한 영향을 탐구하는 것.

제안 방법

• 2차원 구면 위의 모든 함수 $f$ 에 대해 수준집합 $f^{-1}(c)$ 의 최대 길이의 하한으로 Birkhoff의 불변량 $\beta(g)$ 를 정의한다.
• Birkhoff의 정리를 사용하여 $\beta(g)$ 가 표면의 닫힌 지오데식의 길이와 같음을 보인다.
• Penrose 부등식 $\sqrt{\pi A} \leq 4\pi M_{\text{ADM}}$ 와 Pu의 정리를 적용하여 지오데식 길이에 대한 경계를 유도한다.
• Berger의 등면적 부등식 $\sqrt{\pi A} \geq 2i(g)$ 와 관계 $l(g) \geq 2c(g)$ 를 사용하여 $\beta$ 를 임의성 반경과 볼록성 반경과 연결한다.
• Kerr-Newman 및 관련된 블랙홀 표면의 계량을 분석하여 $\beta$ 를 명시적으로 계산하고 부등식을 검증한다.
• 고차원 표면에 대해 $S^n$ 위상과 $S^{n-1}$ 의 층화를 사용하고 체적 최소화 원리를 적용하여 프레임워크를 고차원으로 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Thorne의 호 추측는 Birkhoff 불변량을 포함한 정밀한 기하학적 부등식으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 주어진 조건에서 주어진 스펙트럼의 질량 조건을 만족하는 시공간에서 외부의 최외곽에 있는 미세하게 트랩된 표면에 대해 $\beta \leq 4\pi M_{\text{ADM}}$ 가 항상 성립하는가?
• RQ3 블랙홀 표면에서 가장 짧은 닫힌 지오데식 길이 $l(g)$, 임의성 반경 $i(g)$, 볼록성 반경 $c(g)$ 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 Pu의 부등식과 Berger의 부등식은 Penrose 부등식과 제안된 호 추측와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 비구형 위상의 고차원 블랙홀 표면로 추측을 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 붕괴하는 영역이 없는 껍질에 대해 추측 $\beta \leq 4\pi M_{\text{ADM}}$ 가 증명되었으며, 이는 표면 형성의 필수 조건을 제공한다.
• Kerr-Newman 블랙홀의 경우 $\beta = l_e = 2\pi(2M - Q^2/r_+) \leq 4\pi M$ 로 계산되며, 이는 정확한 해에서 추측이 확인됨을 의미한다.
• $\beta \leq 4\pi M_{\text{ADM}}$ 에서 유도된 바로 직후에 $l(g) \leq 4\pi M_{\text{ADM}}$ 가 성립함을 보여, $l(g)$ 는 가장 짧은 닫힌 지오데식 길이이다.
• Pu의 정리와 Penrose 부등식을 사용하여, 반대점 대칭을 갖는 표면에 대해 $2c(g) \leq 4\pi M_{\text{ADM}}$ 가 성립함을 보였다.
• Berger의 등면적 부등식은 $2i(g) \geq 4c(g)$ 를 암시하며, Penrose 부등식과 결합하여 $4\pi M_{\text{ADM}} \geq 2i(g) \geq 4c(g)$ 를 유도한다.
• 프레임워크는 고차원으로 일반화되었으며, $\beta$ 는 $n$차원 표면에서 $S^{n-1}$ 층화의 최대 $(n-1)$-체적의 하한으로 정의된다.