[논문 리뷰] New definition of quasilocal mass and its positivity

Chiu-Chu Melissa Liu, Shing‐Tung Yau|arXiv (Cornell University)|2003. 03. 05.

Spectral Theory in Mathematical Physics인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 경계를 이루는 컴팩트 스픸라임 하이퍼면이 필요로 하지 않는, 정수 곡률이 양인 스플라임 2-표면에 대한 새로운 쿼지로컬 질량 정의를 제안한다. 이는 국소 에너지 조건 하에서 쿼지로컬 에너지가 엄격히 양임을 증명하여, 국소 에너지 조건 하에서 기본적인 양성 성질을 확립한다.

ABSTRACT

We propose definitions of quasilocal energy and momentum surface energy of a spacelike 2-surface with positive intrinsic curvature in a spacetime. Our definitions do not depend on the compact spacelike hypersurface it bounds. We show that the quasilocal energy of the boundary of a compact spacelike hypersurface which satisfies the local energy condition is strictly positive unless the spacetime is flat along the spacelike hypersurface.

연구 동기 및 목표

• 정수 곡률이 양인 스플라임 2-표면에 대한 쿼지로컬 에너지와 운동량 표면 에너지를 정의하기.
• 표면을 둘러싸는 컴팩트 스플라임 하이퍼면에 대한 의존성을 정의에서 제거하기.
• 국소 에너지 조건 하에서 쿼지로컬 에너지의 양성성을 확립하기.
• 일반 상대성 이론에서 쿼지로컬 질량의 기하학적으로 내재된 정의를 제공하기.

제안 방법

• 경계 하이퍼면에 대한 참조 없이, 2-표면의 내재 기하학을 사용하여 쿼지로컬 에너지와 운동량을 정의하기.
• 정의에 핵심적인 기하학적 입력으로서 2-표면의 정수 곡률을 활용하기.
• 변분 원리와 기하학적 분석을 적용하여 에너지-운동량 표현식 유도하기.
• 지배 에너지 조건과 시공간 곡률 제약 조건을 활용하여 양성성 분석하기.
• 표면 기하학과 시공간 곡률을 연결하기 위해 가우스-코다지 방정식을 사용하기.
• 국소 에너지 조건 하에서 쿼지로컬 에너지가 평탄한 시공간에서만 영이 됨을 보여주기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계를 이루는 하이퍼면이 필요 없이 2-표면에 대해 기하학적으로 내재된 쿼지로컬 질량을 정의할 수 있는가?
• RQ2 국소 에너지 조건을 만족하는 시공간 내의 표면에 대해 쿼지로컬 에너지가 엄격히 양인가?
• RQ3 쿼지로컬 에너지가 어떤 기하학적 및 물리적 조건에서 영이 되는가?
• RQ4 2-표면의 정수 곡률이 쿼지로컬 에너지의 정의와 양성성에 어떻게 영향을 주는가?
• RQ5 새로운 정의는 비컴팩트 또는 점점 평탄해지는 시공간에 일관되게 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 국소 에너지 조건을 만족하는 시공간 내에서 정수 곡률이 양인 임의의 스플라임 2-표면에 대해 제안된 쿼지로컬 에너지는 엄격히 양이다.
• 정의는 2-표면를 둘러싸는 컴팩트 스플라임 하이퍼면의 지식이 필요로 하지 않는다.
• 쿼지로컬 에너지가 평탄한 시공간에서만 영이 된다.
• 점점 평탄해짐이나 대칭성을 가정하지 않아도 양성 결과가 성립한다.
• 정의는 오직 2-표면의 내재 기하학과 시공간 곡률에 의존하는 기하학적으로 내재된 것이다.
• 이 방법은 표면 기하학과 일반 상대성 이론에서 에너지 함량 사이의 엄밀한 연결 고리를 확립한다.