[논문 리뷰] Birthday Paradox, Monochromatic Subgraphs, and the Second Moment Phenomenon

Bhaswar B. Bhattacharya, Somabha Mukherjee외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 11. 04.

Limits and Structures in Graph Theory참고 문헌 12인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 성장하는 그래프 $G_n$의 랜덤 정점 색칠에서 고정된 그래프 $H$의 단색 복제본 수가 평균과 분산이 모두 동일한 극한 $ olambda$로 수렴할 경우, 그 분포가 포아송 분포로 수렴한다는 것을 입증한다. 두 번째 모멘트 현상은 모든 그래프 $H$에 대해 일반적으로 성립하며, 유일하게 조건이 필수적이고 충분한 경우는 $H$가 별 모양일 때뿐이며, 결과는 독립된 포아송 분포의 선형 조합에 대한 일반적인 극한 정리로 확장된다.

ABSTRACT

What is the chance that among a group of $n$ friends, there are $s$ friends all of whom have the same birthday? This is the celebrated birthday problem which can be formulated as the existence of a monochromatic $s$-clique $K_s$ ($s$-matching birthdays) in the complete graph $K_n$, where every vertex of $K_n$ is uniformly colored with $365$ colors (corresponding to birthdays). More generally, for a general connected graph $H$, let $T(H, G_n)$ be the number of monochromatic copies of $H$ in a uniformly random coloring of the vertices of the graph $G_n$ with $c_n$ colors. In this paper we show that $T(H, G_n)$ converges to $\mathrm{Pois}(\lambda)$ whenever $\mathbb E T(H, G_n) ightarrow \lambda$ and $\mathrm{Var} T(H, G_n) ightarrow \lambda$, that is, the asymptotic Poisson distribution of $T(H, G_n)$ is determined just by the convergence of its mean and variance. Moreover, this condition is necessary if and only if $H$ is a star-graph. In fact, the second-moment phenomenon is a consequence of a more general theorem about the convergence of $T(H,G_n)$ to a finite linear combination of independent Poisson random variables. As an application, we derive the limiting distribution of $T(H, G_n)$, when $G_n\sim G(n, p)$ is the Erdős-Renyi random graph. Multiple phase-transitions emerge as $p$ varies from 0 to 1, depending on whether the graph $H$ is balanced or unbalanced.

연구 동기 및 목표

• 고정된 그래프 $H$의 단색 복제본 수가 랜덤 정점 색칠에서 성장하는 그래프 $G_n$로 수렴할 때 포아송 분포로 수렴하는 조건을 규명하는 것.
• 첫 번째 및 두 번째 모멘트의 수렴만으로도 단색 부분그래프의 분포가 포아송으로 수렴하는지 여부를 규명하는 두 번째 모멘트 현상이 성립하는 조건을 특성화하는 것.
• 단일 포아송 극한을 넘어서 독립된 포아송 랜덤 변수의 유한 선형 조합을 포함하는 일반적인 수렴 정리로 결과를 확장하는 것.
• 에르되시–레니 랜덤 그래프 $G(n,p)$일 때 $T(H, G_n)$의 극한 분포를 분석하여 $H$의 균형 여부에 따라 단계 전이를 규명하는 것.

제안 방법

• 고정된 그래프 $H$의 단색 복제본 수를 $T(H, G_n)$으로 정의하며, $G_n$의 균일한 $c_n$-색칠에서 정의된다.
• 모든 $\mathbb{E}[T(H, G_n)] \to \lambda$ 및 $\mathrm{Var}[T(H, G_n)] \to \lambda$ 조건이 성립할 때 $T(H, G_n) \xrightarrow{d} \mathrm{Pois}(\lambda)$임을 입증하며, 이 조건은 $H$가 별일 때에만 필요하고 충분하다.
• 적절한 모멘트 조건 하에서 $T(H, G_n)$이 독립된 포아송 랜덤 변수의 유한 선형 조합으로 수렴하는 일반적인 극한 정리를 증명한다.
• 일반 정리를 $G_n \sim G(n,p)$의 경우에 적용하여 $p$가 0에서 1로 변화할 때 $T(H, G_n)$의 행동을 분석한다.
• 그래프 $H$의 구조적 성질을 이용하여 $H$가 균형 잡힌지 또는 균형 잡히지 않은지에 따라 극한 분포의 단계 전이를 분류한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 그래프 $H$의 단색 복제본 수가 $G_n$의 랜덤 색칠에서 포아송 랜덤 변수로 수렴하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 첫 번째 및 두 번째 모멘트가 동일한 극한 $ olambda$로 수렴하는 것이 두 번째 모멘트 현상이 성립하기 위해 필수적이고 충분한가?
• RQ3 일반적인 모멘트 조건 하에서 $T(H, G_n)$의 극한 분포가 독립된 포아송 변수의 유한 선형 조합으로 특성화될 수 있는가?
• RQ4 에르되시–레니 랜덤 그래프 $G(n,p)$에서 $T(H, G_n)$의 극한 분포는 $p$에 따라 어떻게 변화하며, $H$의 구조에 따라 어떤 단계 전이가 발생하는가?

주요 결과

• 고정된 그래프 $H$의 단색 복제본 수가 랜덤 색칠에서 $G_n$로 수렴할 때, $\mathbb{E}[T(H, G_n)]$와 $\mathrm{Var}[T(H, G_n)]$가 모두 $ olambda$로 수렴할 때에만 $T(H, G_n)$이 분포적으로 $\mathrm{Pois}(\lambda)$로 수렴하며, 이 조건은 $H$가 별일 때에만 필수적이고 충분하다.
• 일반적인 $H$에 대해, 첫 번째 및 두 번째 모멘트가 적절히 수렴할 경우 $T(H, G_n)$의 극한 분포는 독립된 포아송 랜덤 변수의 유한 선형 조합이 된다.
• 에르되시–레니 랜덤 그래프 $G(n,p)$에서 $p$가 0에서 1로 증가함에 따라 $T(H, G_n)$의 극한 분포에 다수의 단계 전이가 발생하며, 이는 $H$가 균형 잡힌지 여부에 따라 달라진다.
• 두 번째 모멘트 현상은 $T(H, G_n)$이 포아송 혼합 분포로 수렴하는 더 깊은 구조적 정리의 결과이며, 이는 일반화된 생일 문제를 임의의 그래프로 확장한 것이다.