[논문 리뷰] Blind Deconvolution with Additional Autocorrelations via Convex Programs

Philipp Walk, Peter Jung외 2명|arXiv (Cornell University)|2017. 01. 17.

Blind Source Separation Techniques참고 문헌 20인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 입력 신호의 자기상관 함수에 대한 사전 지식을 이용한 볼록 최적화 프레임워크를 제안하며, 신호가 공통 영을 공유하지 않을 경우 정확한 복원을 가능하게 한다. 컨볼루션의 모호성을 z-도메인에서의 영 교환으로 매핑하고 이중 증명을 구성함으로써, 준위분해 프로그래밍을 통한 결정론적 복원이 가능해지며, 수치적 검증을 통해 노이즈에 대한 강건성을 입증한다.

ABSTRACT

In this work we characterize all ambiguities of the linear (aperiodic) one-dimensional convolution on two fixed finite-dimensional complex vector spaces. It will be shown that the convolution ambiguities can be mapped one-to-one to factorization ambiguities in the $z-$domain, which are generated by swapping the zeros of the input signals. We use this polynomial description to show a deterministic version of a recently introduced masked Fourier phase retrieval design. In the noise-free case a (convex) semi-definite program can be used to recover exactly the input signals if they share no common factors (zeros). Then, we reformulate the problem as deterministic blind deconvolution with prior knowledge of the autocorrelations. Numerically simulations show that our approach is also robust against additive noise.

연구 동기 및 목표

• 유한 차원 복소 벡터 공간에서의 선형 컨볼루션에 대한 모호성의 완전하고 수학적으로 엄밀한 특성화를 제공하는 것.
• 입력 신호가 공통 영을 공유할 경우에 한해 블라인드 컨볼루션의 식별 조건을 설정하는 것.
• 신호 자기상관 함수에 대한 사전 지식을 활용하여 블라인드 컨볼루션을 볼록 준위분해 프로그램으로 재구성하는 것.
• 노이즈가 없는 경우 볼록 프로그램을 통해 신호를 결정론적으로 복원하고, 추가 노이즈 상황에서의 강건성을 입증하는 것.
• 결정론적 설정에서 위상 복원을 위한 명시적 이중 증명을 구성하는 것. 이는 이전의 마스킹 푸리에 위상 복원 설계를 확장한다.

제안 방법

• 저자는 입력 신호의 z-변환에서 공통 영 쌍이 존재할 경우 발생하는 모호성의 원인을 z-도메인에서의 영 교환 인수분해로 일대일 매핑하여 특성화한다.
• 입력 신호의 알려진 자기상관 함수를 활용하여 블라인드 컨볼루션을 위상 복원 문제로 재구성하며, Jaganathan 등 이전 연구의 결과를 활용한다.
• 원래의 신호를 복원하기 위해 볼록 준위분해 프로그램을 구성하며, 공통 영이 없는 조건 하에서 정확한 복원을 증명하기 위해 명시적으로 이중 증명을 유도한다.
• 마스킹 푸리에 위상 복원의 아이디어를 결정론적 프레임워크로 번역하여 이중 증명을 구성함으로써, 신호가 공통 인수를 갖지 않을 경우 유일성을 보장한다.
• 시간 반전 자기상관 시퀀스와 블록 토플리츠 행렬을 사용하여 컨볼루션의 그람 행렬 구조를 표현함으로써, 효율적인 준위분해 프로그래밍 설정을 가능하게 한다.
• 자기상관 시퀀스로부터 이중 변수(λ 행렬)의 명시적 표현을 유도하여, 이중 해가 볼록 프로그램의 최적성 조건을 만족함을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 차원 복소 벡터 공간에서의 선형 컨볼루션에 대한 전체 모호성 집합은 무엇이며, 어떻게 대수적으로 특성화할 수 있는가?
• RQ2 복합 출력과 입력 신호 자기상관 함수에 대한 사전 지식만을 사용할 때, 블라인드 컨볼루션을 유일하게 해결할 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 입력 신호가 공통 영을 공유하지 않을 경우, 노이즈가 없는 상황에서 정확한 신호 복원을 위한 볼록 준위분해 프로그램을 구성할 수 있는가?
• RQ4 결정론적 설정에서 블라인드 컨볼루션 문제의 정확한 복원을 증명하기 위해 이중 증명을 어떻게 명시적으로 구성할 수 있는가?
• RQ5 실제 신호 복원 시나리오에서 제안된 볼록 방법이 추가 노이즈에 대해 어느 정도 강건한가?

주요 결과

• 논문은 입력 신호가 z-도메인 표현에서 공통 영을 공유하지 않을 경우에만 블라인드 컨볼루션의 식별이 유일하게 가능하다는 것을 증명한다.
• 노이즈가 없는 경우, 볼록 준위분해 프로그램이 입력 신호에 공통 인수가 없을 경우 원래의 신호를 정확히 복원함을 입증한다.
• 공통 영이 없는 조건 하에서 최적성 조건을 만족하는 이중 증명을 구성함으로써, 이 방법은 이 조건 하에서 복원의 유일성을 보장한다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 볼록 접근법이 추가 노이즈에 대해 강건하며 정확한 신호 재구성을 유지함을 입증한다.
• 이중 증명은 시간 반전 자기상관 시퀀스와 블록 토플리츠 행렬을 사용하여 명시적으로 구성되며, 해의 최적성 검증에 기여한다.
• 이 프레임워크는 이전의 마스킹 푸리에 위상 복원 설계를 결정론적 설정으로 일반화하여 통계적 가정 없이 정확한 복원을 가능하게 한다.