[논문 리뷰] Reconstruction of signals from their autocorrelation and cross-correlation vectors, with applications to phase retrieval and blind channel estimation

Kishore Jaganathan, Babak Hassibi|arXiv (Cornell University)|2016. 10. 09.

Advanced X-ray Imaging Techniques참고 문헌 36인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 단일 신호의 자기상관 및 상호상관 벡터로부터 두 신호를 복원하기 위한 정수형계획법(SDP) 기반 방법을 제안한다. 이는 위상 복원 및 블라인드 채널 추정 문제를 다루며, 리프팅 기반 볼록 리 릴랙세이션을 통해 전역 위상까지 유일하고 안정적인 복원을 달성한다. 이는 노이즈 환경에서 고전적 실베스터 행렬 방법보다 뛰어난 성능을 보인다.

ABSTRACT

We consider the problem of reconstructing two signals from the autocorrelation and cross-correlation measurements. This inverse problem is a fundamental one in signal processing, and arises in many applications, including phase retrieval and blind channel estimation. In a typical phase retrieval setup, only the autocorrelation measurements are obtainable. We show that, when the measurements are obtained using three simple "masks", phase retrieval reduces to the aforementioned reconstruction problem. The classic solution to this problem is based on finding common factors between the $z$-transforms of the autocorrelation and cross-correlation vectors. This solution has enjoyed limited practical success, mainly due to the fact that it is not sufficiently stable in the noisy setting. In this work, inspired by the success of convex programming in provably and stably solving various quadratic constrained problems, we develop a semidefinite programming-based algorithm and provide theoretical guarantees. In particular, we show that almost all signals can be uniquely recovered by this algorithm (up to a global phase). Comparative numerical studies demonstrate that the proposed method significantly outperforms the classic method in the noisy setting.

연구 동기 및 목표

• 위상 복원 및 블라인드 채널 추정에서 발생하는 자기상관 및 상호상관 측정치로부터 신호를 복원하는 기본 역문제를 다루기.
• 고전적 다항식 근 구하기 방법(예: 실베스터 행렬)이 노이즈 환경에서 불안정한 점을 해결하기 위해 볼록 최적화 프레임워크를 도입하기.
• 노이즈가 없는 경우 전역 위상까지의 유일한 복원을 위한 이론적 보장을 제공하기.
• 추가 측정치(예: 위상 복원에서의 다중 마스크)를 볼록 제약 조건으로 통합하여 내성 향상시키기.
• 가우시안 백색 노이즈를 모델링하기 위해 목적함수에 ℓ₂-노름 최소화를 적용하고, 희소 노이즈의 경우 ℓ₁-노름 옵션을 제공함으로써, 추가 노이즈에 대한 내성 향상 달성하기.

제안 방법

• 신호 벡터를 랭크-일치 양의 준정적 행렬로 리프팅하는 표준 리프팅 기법을 사용하여 복원 문제를 정수형계획법(SDP)으로 공식화하기.
• 측정 모델을 사용하여 관측된 자기상관 및 상호상관 벡터와 예측된 값 간의 제곱 오차를 최소화하면서, 리프팅된 행렬이 양의 준정적이어야 한다는 조건을 부여하기.
• 최적화 문제를 다음과 같이 정의하기: ∑|trace(AₘX) − bₘ|²를 최소화하고 X ≽ 0 를 조건으로 하며, bₘ은 노이즈가 포함된 측정치이다.
• 진짜 신호가 랭크-일치 행렬에 해당함을 활용하여, 실질적으로 핵노름 리 릴랙세이션 또는 트레이스 정규화를 통해 복원 가능하다.
• 추가 측정치(예: 위상 복원에서의 다중 마스크)를 SDP에 추가 아핀 제약 조건으로 통합하여 안정성 향상시키기.
• 가우시안 백색 노이즈를 모델링하기 위해 목적함수에 ℓ₂-노름 최소화를 적용하고, 희소 노이즈의 경우 ℓ₁-노름 옵션을 제공하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노이즈가 존재하는 상황에서 볼록 최적화 프레임워크가 자기상관 및 상호상관 벡터로부터 안정적이고 유일한 신호 복원을 제공할 수 있는가?
• RQ2 노이즈 환경에서 제안된 SDP 기반 방법이 고전적 실베스터 행렬 기반 방법보다 성능가 어떻게 비교되는가?
• RQ3 위상 복원에서의 다중 마스크와 같은 추가 측정치가 SDP 프레임워크 내에서 복원 안정성 향상에 어느 정도 기여하는가?
• RQ4 노이즈가 없는 설정에서 유일한 신호 복원(전역 위상까지)이 보장되는 조건은 무엇인가?
• RQ5 SDP 프레임워크는 자기상관 및 상호상관 벡터의 최소 집합을 초월한 추가 제약 조건이나 측정치를 자연스럽게 통합할 수 있는가?

주요 결과

• 수치 시뮬레이션에서 제안된 SDP 기반 방법은 모든 SNR 수준에서 고전적 실베스터 행렬 방법보다 훨씬 낮은 정규화된 평균 제곱 오차(NMSE)를 달성한다.
• 노이즈가 없는 경우, SDP 공식화는 전역 위상까지 거의 모든 신호를 유일하게 복원하며, 이론적 보장이 제공된다.
• 노이즈가 있는 설정에서도 SDP 방법은 안정적인 성능을 보이며, NMSE는 로그 스케일에서 증가하는 SNR와 약선형적으로 감소한다.
• 위상 복원에서의 세 개 마스크로부터의 추가 측정치 통합은 시뮬레이션 결과에서 NMSE 감소를 통해 복원 안정성 향상을 입증한다.
• SDP 프레임워크는 추가 아핀 제약 조건을 통해 추가 측정치를 자연스럽게 수용할 수 있으며, 고전적 방법은 이러한 데이터를 활용할 수 없다.
• 상호상관 벡터가 세 개의 자기상관 측정치로부터 유도되는 경우(예: 위상 복원)에도 방법은 여전히 강인하며, 이에 따라 더 높은 노이즈 분산을 모델링할 수 있다.