[논문 리뷰] Blow-up for the 1D nonlinear Schrödinger equation with point nonlinearity II: Supercritical blow-up profiles

Justin Holmer, Chang Liu|arXiv (Cornell University)|2017. 08. 10.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $L^2$ 초임계 영역($p > 3$)에서 점 비선형성을 가진 1차원 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 자가유사 폭발 해를 구축한다. 문제를 포물선 웨이버 함수를 포함하는 정적 프로파일 방정식으로 줄이고, 감마 함수와 다이감마 함수를 통해 원점에서의 점프 조건을 해결함으로써, 에너지 공간 $L^\frown \bigcap \tilde{H}^1$ 내에서의 외향 해의 존재성과 유일성을 증명한다. 약간 초임계인 경우 $p \approx 3$에 대해 로그 바이넷 공식과 정적 위상 방법을 사용하여 명시적인 점근적 형태를 도출한다.

ABSTRACT

We consider the 1D nonlinear Schrödinger equation (NLS) with focusing \emph{point nonlinearity}, $$i\partial_tψ+ \partial_x^2ψ+ δ|ψ|^{p-1}ψ= 0$$ where $δ=δ(x)$ is the delta function supported at the origin. In the $L^2$ supercritical setting $p>3$, we construct self-similar blow-up solutions belonging to the energy space $L_x^\infty \cap \dot H_x^1$. This is reduced to finding outgoing solutions of a certain stationary profile equation. All outgoing solutions to the profile equation are obtained by using parabolic Weber functions and solving the jump condition at $x=0$ imposed by the $δ$ term. This jump condition is an algebraic condition involving gamma functions, and existence and uniqueness of solutions is obtained using the intermediate value theorem and formulae for the digamma function. We also compute the form of these outgoing solutions in the slightly supercritical case $0

연구 동기 및 목표

• 초임계 영역($p > 3$)에서 집중형 점 비선형성을 가진 1차원 비선형 슈뢰딩거 방정식에 대해 명시적인 자가유사 폭발 해를 구축하는 것.
• 자기유사 폭발 가정에서 유도된 정적 프로파일 방정식에 대해 에너지 공간 $L_x^\frown \cap \dot{H}_x^1$ 내에서 해의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 델타 함수 비선형성에 의해 유도되는 원점에서의 점프 조건을 감마 함수를 포함하는 대수적 조건을 통해 해결하는 것.
• 로그 바이넷 공식과 경로 변형을 사용하여 약간 초임계 영역($0 < p-3 \ll 1$)에서의 폭발 프로파일 점근적 형태를 계산하는 것.

제안 방법

• 자기유사 폭발 가정을 복소 매개변수 $\kappa$, $h$, $\sigma_c$를 포함하는 델타 함수 비선형성을 가진 정적 프로파일 방정식으로 환원한다.
• 변환 $\eta(z) = e^{-\frac{1}{4}ihz^2}\varphi(z)$를 통해 포물선 웨이버 함수를 기본 해로 사용하여 역 힘의 조화 진동자 위치 에너지 문제의 슈뢰딩거 형 방정식을 도출한다.
• 역 힘의 조화 진동자에 대한 고유값 문제의 해로서 포물선 웨이버 함수를 사용하며, 무한대에서의 정해진 점근적 행동을 만족시킨다.
• 감마 함수를 포함하는 연결 공식을 통해 원점에서의 점프 조건을 도입하여 복소 평면 상의 대수적 방정식을 이끌어낸다.
• 중간값 정리와 다이감마 함수의 성질을 적용하여 점프 조건을 만족하는 해의 존재성과 유일성을 증명한다.
• 로그 바이넷 공식, 경로 변형, 정적 위상/라플라스 방법을 사용하여 약간 초임계 영역 $p \approx 3$에서의 프로파일에 대한 점근 전개를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초임계 영역($p > 3$)에서 점 비선형성을 가진 1차원 NLS에 대해 자가유사 폭발 해가 존재하는가?
• RQ2 해당 폭발 해가 에너지 공간 $L_x^\infty \cap \dot{H}_x^1$ 내에서 명시적으로 구성될 수 있는가?
• RQ3 델타 함수 비선형성에 의해 유도되는 원점에서의 점프 조건이 해의 프로파일을 결정하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 약간 초임계 영역($p \approx 3$)에서 폭발 프로파일은 어떻게 행동하는가?
• RQ5 특수 함수와 정적 위상 방법을 사용하여 프로파일의 점근 전개를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 점 비선형성을 가진 1차원 NLS에 대해 초임계 영역($p > 3$)에서 자가유사 폭발 해가 존재하며, 에너지 공간 $L_x^\infty \cap \dot{H}_x^1$에 속한다.
• 정적 프로파일 방정식에 대한 외향 해는 감마 함수를 포함하는 대수적 점프 조건을 풀어 유일하게 결정되며, 중간값 정리와 다이감마 함수 항등식을 통해 존재성과 유일성이 확립된다.
• 약간 초임계인 경우($0 < p-3 \ll 1$), 로그 바이넷 공식과 정적 위상 방법을 사용하여 폭발 프로파일을 점근적으로 계산하였으며, 명시적인 주요 항의 행동을 도출하였다.
• 초임계 영역에서 프로파일의 주요 기여는 복소 평면에서 변형된 경로를 따라 정적 위상 분석을 통해 발생하며, 위상 함수는 $\theta_0 = \arcsin\alpha$에서 최소값을 갖는다.
• $\alpha \gg 1$일 경우, 허수축 세그먼트 $\gamma_3$에서의 적분 기여는 $g_3(\alpha, h^{-1}) \approx (2\pi)^{1/2} e^{-\pi/(2h)} e^{-ih^{-1}} h^{-1/2}$로 점근적으로 표현되며, 이는 초임계 극한에서 급격한 감쇠를 나타낸다.
• 전체 프로파일이 $L^\infty$ 및 $\dot{H}^1$-정규성을 갖는 것으로 보여져, 원점의 특이성에도 불구하고 에너지 공간에 속한다는 것이 확인된다.