[논문 리뷰] Bold Feynman diagrams and the Luttinger-Ward formalism via Gibbs measures. Part I: Perturbative approach

Lin Lin, Michael Lindsey|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 09.

Theoretical and Computational Physics참고 문헌 25인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 갈릴레오 측도의 프레임워크 내에서 굳은 파인만 도형과 루팅거-워드 형식주의의 조합론적 기초를 확립하며, 엄밀한 도형 분해를 통해 굳은 도형 전개의 타당성을 증명한다. 이는 GW, DMFT, GF2와 같은 근사법에 핵심적인 전개가 2PI(두 입자 기초 불가분) 도형을 통해 최대 삽입 분해를 통해 체계적으로 유도될 수 있음을 보여주며, 널리 쓰이는 많은체물리 방법에 대한 통합적이고 수학적으로 타당한 기초를 제공한다.

ABSTRACT

Many-body perturbation theory (MBPT) is widely used in quantum physics, chemistry, and materials science. At the heart of MBPT is the Feynman diagrammatic expansion, which is, simply speaking, an elegant way of organizing the combinatorially growing number of terms of a certain Taylor expansion. In particular, the construction of the `bold Feynman diagrammatic expansion' involves the partial resummation to infinite order of possibly divergent series of diagrams. This procedure demands investigation from both the combinatorial (perturbative) and the analytical (non-perturbative) viewpoints. In Part I of this two-part series, we illustrate how the combinatorial properties of Feynman diagrams in MBPT can be studied in the simplified setting of Gibbs measures (known as the Euclidean lattice field theory in the physics literature) and provide a self-contained explanation of Feynman diagrams in this setting. We prove the combinatorial validity of the bold diagrammatic expansion, with methods generalizable to several types of field theories and interactions. Our treatment simplifies the presentation and numerical study of known techniques in MBPT such as the self-consistent Hartree-Fock approximation (HF), the second-order Green's function approximation (GF2), and the GW approximation. The bold diagrams are closely related to the Luttinger-Ward (LW) formalism, which was proposed in 1960 but whose analytic properties have not been rigorously established. The analytical study of the LW formalism in the setting of Gibbs measures will be the topic of Part II.

연구 동기 및 목표

• 갈릴레오 측도의 단순한 설정에서 다체 양자역학 섭동이론(MBPT)에 대해 자가 포함적이고 수학적으로 엄밀한 다루기를 제공하기 위해.
• 최대 삽입을 통한 2PI 도형으로의 분해를 증명하여 굳은 파인만 도형 도형 전개의 조합론적 타당성을 확립하기 위해.
• 다양한 장 이론과 상호작용으로 이 형식주의를 일반화하여 기존 MBPT 방법의 분석과 수치적 구현을 단순화하기 위해.
• 제2부에서 루팅거-워드 기능의 분석적 연구를 위한 기초를 마련하기 위해, 오랫동안 제기된 존재성과 수렴성 문제를 다루기 위해.

제안 방법

• 유럽형 격자 장 이론으로서 갈릴레오 측도를 사용하여 MBPT를 형식화하며, 페르미온 Fock 공간 대신 가우시안 측도와 다항식 상호작용을 사용한다.
• 각 굳은 도형이 특정 반모서리 쌍에 최대로 잘린 도형을 삽입함으로써 2PI 뼈대 도형에서 유도됨을 보여주는 도형 분해를 도입한다.
• 삽입 Γ(k)를 단일 간선 {h₁(k), h₂(k)}로 대체함으로써 뼈대 도형 Γs를 정의하며, 이는 구성상 2PI 및 1PI가 된다.
• 반복적인 축소와 삽입 올리기 추론을 사용하여, 비최대 삽입은 2PI 구조와 모순됨을 보여, 분해의 유일성을 증명한다.
• 조합론적 기법을 사용하여 굳은 전개가 순수 도형의 부분 재수열화에 해당하며, 삽입은 자기에너지 기여를 나타냄을 증명한다.
• 이 프레임워크를 적용하여 기존의 근사법들(GW, HF, GF2 등)이 굳은 도형의 부분집합으로서 도출됨을 보이며, 그 형식적 일致성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 굳은 파인만 도형 도형 전개는 단순한 장 이론 설정에서 조합론적 방법을 사용해 엄밀하게 정당화될 수 있는가?
• RQ2 2PI 및 최대 삽입 분해의 관점에서 루팅거-워드 형식주의의 정확한 도형적 구조는 무엇인가?
• RQ3 굳은 도형에서의 부분 재수열화 절차는 도형 항등식을 사용해 순수 섭동 이론으로부터 체계적으로 유도될 수 있는가?
• RQ4 이 형식주의는 다양한 종류의 상호작용과 장 이론으로 일반화될 수 있으며, 전개의 타당성을 유지할 수 있는가?
• RQ5 굳은 도형 분해의 유일성과 일致성을 보장하는 조합론적 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 굳은 도형 도형 전개는 조합론적으로 타당하다: 모든 굳은 도형은 최대로 잘린 도형을 삽입한 2PI 뼈대 도형에서 유일하게 유도된다.
• 최대성과 겹치지 않는 조건으로 인해, 결과로 얻어진 뼈대 도형은 더 이상 삽입이 불가능하며, 구성상 1PI 및 2PI가 된다.
• 분해는 유일하다: 최대 삽입보다 큰 도형을 삽입하려는 尝시는 뼈대의 2PI 성질과 모순된다.
• 이 방법은 GW, DMFT, GF2와 같은 널리 쓰이는 근사법을 굳은 도형의 부분집합으로서 유도하는 엄밀한 기초를 제공한다.
• 이 프레임워크는 다양한 장 이론과 상호작용으로 일반화되어 편미분적 및 자기일관적 방법의 통합 처리를 가능하게 한다.
• 결과적으로 도형 장 이론과 함수해석학 사이의 다리를 놓으며, 제2부에서 루팅거-워드 기능의 분석적 연구를 위한 기반을 마련한다.