[논문 리뷰] Borel* Sets in the Generalised Baire Space

Tapani Hyttinen, Vadim Kulikov|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 18.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 4인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 기수 $κ$에 대해 일반화된 Baire 공간 $κ^κ$ 내에서 복잡도 계열 Borel*($κ$)를 조사하며, $Σ^1_1(κ)$, $Δ^1_1(κ)$, $Σ^1_1(κ)$ 등의 다른 述語적 집합론적 계열과의 관계를 규명한다. $κ^+$ 길이의 $<κ$-지지 강제법을 사용하여 $Σ^1_1(κ)$에 대한 $Σ^1_1(κ)$의 포함관계가 일관되게 성립함을 증명하며, 이는 코헨 강제법과 $M_{κ^+κ}$에 대한 논리 기반 강제법을 포함하는 반복이다. 이로써 일반화된 확장에서 $Σ^1_1(κ)$에 속하지 않는 $Σ^1_1(κ)$가 됨을 보여준다.

ABSTRACT

We start by giving a survey to the theory of Borel*(κ) sets in the generalized Baire space Baire(κ) = κ^κ. In particular we look at the relation of this complexity class to other complexity classes which we denote by Borel(κ), Δ^1_1(κ) and Σ^1_1(κ) and the connections between Borel*(κ)-sets and the infinitely deep language M_{κ^+κ}. In the end of the paper we prove the consistency of Borel*(κ) e Σ^1_1(κ).

연구 동기 및 목표

• 기본적인 Baire 공간에서의 述語적 집합론을 기수 $κ$에 대해 $\kappa^{<\kappa} = \kappa$ 를 만족하는 비가산 $κ$에 대해 일반화된 Baire 공간 $\kappa^\kappa$로 확장한다.
• 의미 게임을 통한 정의를 통해 $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$ 복잡도 계열을 분석하고, 이는 $M_{\kappa^+\kappa}$ 논리와 관련이 있으며, $\operatorname{Borel}(\kappa)$, $\Delta^1_1(\kappa)$, $\Sigma^1_1(\kappa)$와 비교한다.
• 기하학적 이론 $T$에 대한 첫 번째 순서 이론에서의 동형관계 $\operatorname{ISO}(T, \kappa)$ 의 述語적 복잡도를 연구한다.
• 강제법을 사용하여 $\operatorname{Borel}^*(\kappa) \subsetneq \Sigma^1_1(\kappa)$ 의 일관성을 확립하며, [FHK11]에서 제기된 열린 문제를 해결한다.

제안 방법

• 코헨 강제법 $\mathbb{C}$ 와 $M_{\kappa^+\kappa}$-정의 가능한 집합을 위한 강제법 $\mathbb{R}(\dot{t}, \dot{h})$ 를 번갈아 사용하는 $\kappa^+$ 길이의 $<\kappa$-지지 반복 강제법 $\mathbb{P}_{\kappa^+}$ 를 구성한다.
• 의미 게임 $B^*((x,y),(t,h))$ 를 통한 $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$ 집합의 정의로, 플레이어 II가 승리 전략을 가질 때이고, $(x,y) \in B(t,h)$ 이면, 블랙웰의 Borel 집합 특성화를 일반화한다.
• 반복의 $\kappa^+$-c.c. 과 $<\kappa$-닫힘성을 사용하여 전략을 유지하고, 일반화된 확장에서 새로운 승리 전략이 추가되지 않도록 한다.
• 일반화된 확장 $V[G]$ 에서, $\operatorname{ISO}(\operatorname{DLO}, \kappa)$ 가 $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$ 가 아니라는 것을 보여, 어떤 $\operatorname{Borel}^*$-코드도 그를 정확히 캡처할 수 없다는 것을 증명한다.
• 일반화된 모델에서 $\Delta^1_1(\kappa) \subsetneq \operatorname{Borel}^*(\kappa)$ 를 증명하기 위해, $\Delta^1_1(\kappa)$ 집합이 성질 Baire를 가진다는 것을 보여, 이는 그것들이 모두 $\operatorname{Borel}^*$-정의 가능하지 않다는 것을 의미한다.
• 강제법 반복을 적용하여 $\operatorname{ISO}(\operatorname{DLO}, \kappa)$ 가 $\Sigma^1_1(\kappa)$ 이지만 $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$ 가 아니라는 것을 보여, 엄밀한 포함관계를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 Baire 공간 $\kappa^\kappa$ 에서 $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$ 는 $\Sigma^1_1(\kappa)$ 보다 엄격히 작을 수 있는가?
• RQ2 일반화된 확장에서 $\operatorname{ISO}(\operatorname{DLO}, \kappa)$ 는 $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$-코드로 캡처될 수 있는가?
• RQ3 일반화된 설정에서 $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$, $\Delta^1_1(\kappa)$, $\Sigma^1_1(\kappa)$ 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 $B^*$-게임을 통한 $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$ 의 게임 이론적 특성화는 강제 확장 하에서도 강건한가?
• RQ5 강제법을 사용하여 비가산 맥락에서 $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$ 와 $\Sigma^1_1(\kappa)$ 를 분리할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 코헨 강제법과 $M_{\kappa^+\kappa}$-정의 가능한 집합을 위한 강제법을 포함하는 $\kappa^+$ 길이의 $<\kappa$-지지 강제법 반복을 사용하여, $\operatorname{Borel}^*(\kappa) \subsetneq \Sigma^1_1(\kappa)$ 의 일관성을 증명한다.
• 이 반복을 통해 얻어진 일반화된 확장 $V[G]$ 에서, $\operatorname{ISO}(\operatorname{DLO}, \kappa)$ 는 $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$ 가 아니며, 어떤 $\operatorname{Borel}^*$-코드도 그를 정확히 표현할 수 없다.
• 모델는 $\Delta^1_1(\kappa) \subsetneq \operatorname{Borel}^*(\kappa)$ 를 만족하며, 이는 $\Delta^1_1(\kappa)$ 집합이 확장에서 성질 Baire를 가지기 때문이며, 이는 그것들이 모두 $\operatorname{Borel}^*$-정의 가능하지 않다는 것을 의미한다.
• 강제법 반복은 $\kappa^+$-c.c. 와 $<\kappa$-닫힘성을 유지하여, $B^*$-게임에 대한 새로운 승리 전략이 도입되지 않도록 하며, 이는 논증에 핵심적이다.
• 결과적으로 $\operatorname{ISO}(\operatorname{DLO}, \kappa)$ 는 일반화된 모델에서 $\Sigma^1_1(\kappa)$ 이지만 $\operatorname{Borel}^*(\kappa)$ 가 아니라는 것이 확인되었으며, 엄밀한 계층이 존재함을 증명한다.
• 이 구성은 [FHK11]에서 제기된 열린 문제를 해결하며, $\kappa^{<\kappa} = \kappa$ 를 만족하는 비가산 $κ$ 에 대해 $\Delta^1_1(\kappa) \subsetneq \operatorname{Borel}^*(\kappa) \subsetneq \Sigma^1_1(\kappa)$ 의 일관성을 보여준다.