[논문 리뷰] Boundary concentration of a Gauged Nonlinear Schrodinger Equation

Alessio Pomponio, David Ruiz|arXiv (Cornell University)|2013. 07. 30.

Advanced Mathematical Physics Problems참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 큰 2차원 원판에서 딜리클레 경계 조건 하에 게이지된 비선형 슈뢰딩거 방정식에 체르누-시미ons 항을 포함한 경우를 다룬다. 특이 섭동 이론과 리아푸노프-슐라이프트 감소 기법을 사용하여, 반지름 R이 무한대에 가까워질 때 경계 근처에 집중하는 양수 해의 존재를 증명한다. 이 해의 극한 프로파일은 원점에서 거리 ~R 정도에 국소화된 고립파 해에 점점 수렴한다.

ABSTRACT

This paper is motivated by a gauged Schrodinger equation in dimension 2 including the so-called Chern-Simons term. The radially symmetric case leads to an elliptic problem with a nonlocal defocusing term, in competition with a local focusing nonlinearity. In this work we pose the equations in a ball under homogeneous Dirichlet boundary conditions. By using singular perturbation arguments we prove existence of solutions for large values of the radius. Those solutions are located close to the boundary and the limit profile is given.

연구 동기 및 목표

• 큰 원판에서 게이지된 비선형 슈뢰딩거 방정식에 체르누-시미온스 항을 포함한 경우에 대한 양수 해의 존재를 확립하는 것.
• 원판의 반지름 R이 무한대에 갈수록 해의 점점 수렴하는 행동을 분석하는 것.
• 동일한 딜리클레 경계 조건 하에서 해가 원판의 경계 근처에 집중됨을 보이는 것.
• 변수 및 섭동 기법을 사용하여 큰 R 영역에서 이러한 해의 극한 프로파일을 특성화하는 것.

제안 방법

• 비국소적 분산 및 국소적 집중 비선형성을 포함한 반지름 대칭 타원형 방정식으로 문제를 재구성한다.
• 큰 R에 대해 경계 근처의 해를 생성하기 위해 특이 섭동 이론을 적용한다.
• 해를 국소화된 프로파일과 보정 항으로 분해하기 위해 리아푸노프-슐라이프트 감소 기법을 사용한다.
• H^1_0,r(B(0,R))에서 에너지 함수 I_R의 잘라낸 형태를 사용하여 임계점을 분석한다.
• 이동한 고립파 U_ρ와 보정 항 w_ρ의 조합인 시도 해 z_ρ + w_ρ를 구성하여 해를 근사한다.
• 감소된 함수 Φ(ρ) = I_R(z_ρ + w_ρ)를 분석하고, 큰 R에 대해 이 함수가 매개변수 영역 내부에서 전역 최소를 도달함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 큰 원판에서 게이지된 비선형 슈뢰딩거 방정식의 양수 해가 R → ∞일 때 경계 근처에 집중하는가?
• RQ2 이러한 해의 점점 수렴하는 프로파일은 큰 R 근처에서 어떻게 생겼는가?
• RQ3 큰 R 영역에서 섭동 방법을 사용하여 해의 존재를 엄밀하게 증명할 수 있는가?
• RQ4 비국소적 체르누-시미온스 항은 표준 NLS 방정식과 비교해 농도 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 큰 R에 대해 에너지 함수 I_R의 해는 국소 최소인지, 전역 최소인지인가?

주요 결과

• 모든 충분히 큰 R에 대해 해가 존재하며, 원판 B(0,R)의 경계 근처에 집중된다.
• 해의 극한 프로파일은 반지름 ρ ~ R에 중심을 둔 고립파 해 U_ρ(r)와 점점 수렴한다.
• R → ∞일 때 에너지 함수는 Φ(ρ) = 2πJ(U)ρ + 2π√k₂ρ e^{-2√k₂(R−ρ)} + o(ρ e^{-2√k₂(R−ρ)})로 행동한다.
• 감소된 함수 Φ(ρ)는 큰 R에 대해 매개변수 영역 내부에서 전역 최소를 도달하므로 해의 존재를 확인한다.
• 보정 항 w_ρ는 H^1 노름에서 무시할 수 있을 정도로 작으며, 이는 근사값 z_ρ + w_ρ의 타당성을 뒷받침한다.
• 해는 에너지 함수 I_R의 국소 최소에 해당하며, R → ∞일 때 에너지가 음의 방향으로 발산하므로 전역 최소일 가능성도 제기된다.