[논문 리뷰] Boundary input-to-state stabilization of a damped Euler-Bernoulli beam in the presence of a state-delay

Hugo Lhachemi, Robert Shorten|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 02.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 37인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 유한 차원 근사와 LMI 기반 분석을 사용하여 시간에 따라 변하는 상태지연을 가진 감쇠된 에일러-버누이 비틀림 빔에 대해 경계 입력-상태 안정화 설계를 제시한다. 분포형 및 경계 간섭이 있는 경우에도 지수적 입력-상태 안정성과 기억 감쇠 특성을 확립하여, 지연된 상태 피드백과 교란에 대해 강건성을 보장한다.

ABSTRACT

This paper is concerned with the point torque boundary feedback stabilization of a damped Euler-Bernoulli beam model in the presence of a time-varying state-delay. First, a finite-dimensional truncated model is derived by spectral reduction. Then, for a given stabilizing state-feedback of the delay-free truncated model, an LMI-based sufficient condition on the maximum amplitude of the state-delay is employed to guarantee the stability of the closed-loop state-delayed truncated model. Second, we assess the exponential stability of the resulting closed-loop infinite-dimensional system under the assumption that the number of modes of the original infinite-dimensional system captured by the truncated model has been selected large enough. Finally, we consider in our control design the possible presence of a distributed perturbation, as well as additive boundary perturbations in the control inputs. In this case, we derive for the closed-loop system an exponential input-to-state estimate with fading memory of the distributed and boundary disturbances.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변하는 상태지연과 외부 간섭이 있는 열린 루프로 불안정한 에일러-버누이 빔을 안정화하는 데 도전하는 것.
• 상태지연과 경계 교란이 있는 무한차원 경계 제어 시스템에 대해 입력-상태 안정성(ISS) 이론을 확장하는 것.
• 분포형 및 경계 간섭이 있는 경우 지수적 ISS와 기억 감쇠 특성을 보장하는 점 토크 경계 피드백 법칙을 설계하는 것.
• 기존 문헌의 격차를 메우기 위해 상태지연을 가진 빔 방정식에 대해 유한 차원 제어 합성 기법을 적용하는 것, 이는 덜 탐색된 PDE의 클래스이다.
• 지연된 상태 피드백과 추가 간섭이 있는 현실 조건 하에서 제어 설계의 강건성을 검증하는 것.

제안 방법

• 스펙트럼 축소를 통해 에일러-버누이 빔의 유한 차원 근사 모델을 유도하여 주요 불안정 모드를 포착한다.
• 지연 최대 폭에 대한 LMI 기반 충분 조건을 적용하여, 근사된 폐루프 시스템의 안정성을 보장한다.
• 리아푸노프 함수 방법을 사용하여, 근사 모델이 충분히 많은 모드를 포괄할 경우 무한차원 폐루프 시스템의 지수적 안정성을 평가한다.
• 제어 설계에 분포형 및 경계 교란을 통합하고, 기억 감쇠 특성을 가진 지수적 ISS 추정치를 유도한다.
• 지연 이력에 관련된 적분 추정치와 노름 경계를 사용하며, $ \mathcal{I} $ 및 $ \|e^{\Lambda_n t}\| \leq e^{-2\eta t} $ 를 사용하여 일시적 성장률을 제어한다.
• 지연 간격 동안 상태 노름에 대한 재귀적 추정치를 수립하여 전역 안정성을 증명하고, 기억 감쇠 특성을 가진 ISS 추정치를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 경계 피드백 제어기가 시간에 따라 변하는 상태지연을 가진 감쇠된 에일러-버누이 빔을 안정화하면서 간섭에 대해 강건성을 확보할 수 있는가?
• RQ2 유한 차원 제어 설계 하에서 폐루프 시스템이 지수적으로 안정성을 유지할 수 있는 최대 허용 지연 폭은 얼마인가?
• RQ3 경계 제어와 상태지연이 있는 무한차원 시스템에 대해 기억 감쇠 특성을 가진 입력-상태 안정성을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ4 근사 모델에서 포착된 모드의 수가 무한차원 시스템의 안정성 확보에 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 분포형 및 경계 교란은 안정성에 어떤 영향을 미치며, 이들의 영향은 ISS 추정치에서 기억 감쇠 특성을 통해 어떻게 경계될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 폐루프 시스템에 대해 기억 감쇠 특성을 가진 지수적 입력-상태 안정성을 확립하여, 간섭이 시간이 지남에 따라 기억에 따라 가중된 방식으로 감쇠됨을 보장한다.
• 지연 폭이 시스템 파라미터에 의해 정의된 임계값 이하일 경우, 상태지연 근사 모델의 안정성을 보장하는 LMI 기반 조건이 도출된다.
• 최대 지연 폭는 조건 $ \xi_2 = 3m_{N_0+1}^2 / (2\eta^2) < 1 $ 로 제약되며, 이는 재귀적 안정성 추정치가 유한하게 유지됨을 보장한다.
• 상태 노름 $ \|c_n(t)\| $ 은 초기 조건, 지연된 상태, 간섭 항의 조합으로 유계이며, 이 경계는 $ \|\Phi\|_{1,h_M} $, $ \|d_d\| $, 및 $ \|d_b\| $ 에 의존한다.
• 길이 $ h_m $ 의 간격에서의 재귀적 추정 절차를 통해 전역 ISS 추정치 (54) 를 도출할 수 있으며, 이는 $ \lceil h_M / h_m \rceil $ 단계 이후 최종 경계 (46) 에 도달한다.
• 최종 ISS 추정치 (46) 는 상태 에너지가 초기 이력 및 간섭 노름의 감쇠 지수로 유계임을 보여주며, 기억 감쇠 특성을 가진 강건성을 확인한다.