[논문 리뷰] Boundedness of Operators in Bilateral Grand Bebesgue Spaces with Exact and Weakly Exact Constant Calculation

E. Ostrovsky L. Sirota|arXiv (Cornell University)|2011. 04. 15.

Advanced Harmonic Analysis Research참고 문헌 17인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 양방향 그랜드 르베그 공간(GLS)에서 푸리에, 최대, 임bedding 연산자 등의 연산자에 대해 정확한 및 약한 정확한 경계를 설정하며, 비등방성 GLS를 도입하고 보이드의 다차원 지수를 계산한다. 가중치가 있는 푸리에 부등식에 대해 날카운 상수를 도출하고, 명시적인 노름 추정을 포함한 보간 정리도 제시하며, 정확한 예제와 渐近 분석을 통해 검증한다.

ABSTRACT

In this article we investigate an action of some operators (not necessary to be linear or sublinear) in the so-called (Bilateral) Grand Lebesgue Spaces (GLS), in particular, double weight Fourier operators, maximal operators, imbedding operators etc. We intend to calculate an exact or at least weak exact values for correspondent imbedding constant. We obtain also interpolation theorems for GLS spaces.We construct several examples to show the exactness of offered estimations. In two last sections we introduce anisotropic Grand Lebesgue Spaces, obtain some estimates for Fourier two-weight inequalities and calculate Boyd's multidimensional indices for this spaces.

연구 동기 및 목표

• 비선형 및 부분선형 연산자—푸리에, 최대, 임베딩 연산자 등을 포함하여—양방향 그랜드 르베그 공간(GLS)에서 정확하거나 약한 정확한 경계를 설정하는 것.
• 특히 다차원 및 비등방성 설정에서 GLS 내에서 가중치가 있는 푸리에 변환 부등식에 대한 날카운 상수를 계산하는 것.
• 비등방성 그랜드 르베그 공간을 도입하고 분석하며, 보간과 연산자 유계성에 핵심적인 역할을 하는 그들의 보이드 다차원 지수를 계산하는 것.
• 명시적인 노름 추정과 함께 GLS에 대한 보간 정리와 그 경계의 날카움을 구성된 예제를 통해 검증하는 것.
• 클래식한 부등식(예: 하디-리틀우드, 소볼레프, 힐버트)을 정확하거나 渐近적으로 정확한 상수를 갖는 GLS 프레임워크로 일반화하는 것.

제안 방법

• 연산자 노름이 $ |Uf|_{q(p)} \leq K(p) |f|_p $ 를 만족하는 순간 불등식 조건(A)을 사용하며, $ p \in (a,b) $ 에서 $ K(p) $ 는 연산자 노름 $ |U|_{L_p \to L_{q(p)}} $ 으로 정의된다.
• 재배열에 불변하는(r.i.) 공간 이론과 가중치가 있는 노름 부등식, 특히 무켄하우프의 이론을 적용하여 푸리에 및 적분 연산자에 대한 경계를 도출한다.
• 다차원 확대 연산자 $ \Delta_{s,t}[f](x,y) = f(x/s, y/t) $ 를 통해 비등방성 GLS를 도입하며, 보이드 지수를 $ \overline{\alpha}(G\psi_D) = 1/a $, $ \underline{\alpha}(G\psi_D) = 1/b $ 등으로 정의한다.
• 조건 $ \frac{\beta_j - \alpha_j}{m_j} = 1 - \frac{1}{p_j} - \frac{1}{q_j} $ 를 사용하여 두 가중치 푸리에 부등식에 대한 날카운 추정을 도출하며, 상수 $ C_5 \leq K \leq C_6 $ 를 제공한다.
• GLS에 대한 보간 이론을 적용하여 $ p > p_0 $ 에서 $ K(p) \asymp \left[ \frac{p}{p - p_0} \right]^{\max(1, 1/p_0 + 1/q_0)} $ 를 도출하며, $ p_0 = (n + \mu)/(n - \beta) $ 이다.
• 노름 등가성과 순간 불등식을 사용하여 날카움을 검증하며, 등호 또는 날카운 경계가 달성되는 예제를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 푸리에, 최대, 임베딩 연산자에 대해 양방향 그랜드 르베그 공간에서 연산자 노름 $ K(p) $ 의 정확하거나 약한 정확한 값은 무엇인가?
• RQ2 비등방성 그랜드 르베그 공간에 대해 보이드의 다차원 지수를 어떻게 계산할 수 있으며, 그 역할은 연산자 유계성에서 무엇인가?
• RQ3 GLS 내에서 두 가중치 푸리에 부등식에 대한 날카운 상수는 무엇이며, $ \alpha, \beta, \mu, \lambda $ 등의 매개변수에 어떻게 의존하는가?
• RQ4 GLS 내에서 명시적이고 정량적인 연산자 노름 추정을 포함한 보간 정리를 설정할 수 있는가?
• RQ5 부등식 $ \left| |x|^{-\alpha} F[f] \right|_{q,-\lambda} \leq K_{\lambda,\mu}(p) \left| |x|^\beta f \right|_{p,\mu} $ 가 날카운 渐近적 행동을 보일 수 있는 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 푸리에 변환에 대해 정확한 상수는 $ A(p) = \left[ \frac{p^{1/p}}{p_1^{1/p_1}} \right]^{n/2} $ 이며, $ p_1 = p/(p-1) $ 이고, $ p \in (1,2] $ 에서 유효하다.
• 힐베르트 변환에 대해 정확한 상수는 $ 1 < p \leq 2 $ 에서 $ \Lambda(p) = \tan(\pi/(2p)) $ 이고, $ 2 < p < \infty $ 에서는 $ \cot(\pi/(2p)) $ 이며, 피코리데스에 의해 증명되었다.
• 리즈 잠재력에 대해 정확한 상수는 $ 0 < s < n $, $ 1 < p < n/s $, $ q = \frac{pn}{n - sp} $ 에서 유효하며, $ K_S(p) = \pi^{s/2} \cdot \frac{\Gamma((n-s)/2)}{\Gamma((n+s)/2)} \cdot \left\{ \frac{\Gamma(s)}{\Gamma(n/2)} \right\}^{s/n} $ 이다.
• 비등방성 GLS 내에서 두 가중치 푸리에 부등식에 대해 날카운 조건은 $ \frac{\beta_j - \alpha_j}{m_j} = 1 - \frac{1}{p_j} - \frac{1}{q_j} $ 이며, 상한과 하한은 $ C_5 \leq K \leq C_6 $ 이며, $ C_5, C_6 $ 는 $ \vec{\alpha}, \vec{\beta}, \vec{m} $ 에 따라 달라진다.
• 비등방성 GLS의 보이드 지수는 확대 연산자 행동에 기반하여 $ \overline{\alpha} = 1/a $, $ \underline{\alpha} = 1/b $, $ \overline{\beta} = 1/c $, $ \underline{\beta} = 1/d $ 로 계산된다.
• 가중치가 있는 $ L_p $ 노름 $ |g|_{p,\mu} = \left[ \int |g(x)|^p |x|^\mu dx \right]^{1/p} $ 에 대해, 연산자 노름은 $ C_1 [p/(p - p_0)]^{1/q_0 + 1/p_0} \leq K_{\lambda,\mu}(p) \leq C_2 [p/(p - p_0)]^{\max(1, 1/q_0 + 1/p_0)} $ 를 만족하며, $ p_0 = (n + \mu)/(n - \beta) $ 이다.