[논문 리뷰] Bounds for torsion on abelian varieties with integral moduli

Pete L. Clark|ArXiv.org|2004. 07. 15.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 14인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 잠재적으로 양호한 근사를 갖는 국소체 위의 아벨 다양체의 토판 부분군에 대한 균일한 경계를 확립한다. 특히 $p$-진 필드에 초점을 맞춘다. $d$차원 아벨 다양체가 $p$-진 필드 $K$ 위에 있고 잠재적으로 양호한 근사를 갖는 경우, 토판 부분군의 크기는 차원, 확장도, 잔여 특성에 따라 의존하는 함수 $F(d,n,p)$에 의해 유계된다. 순수하게 덧셈적 근사를 갖는 경우 더 강력한 경계가 존재한다. 주요 기여는 차수 $\leq3$인 수체 위의 CM 타원곡선에 대한 가능한 토판 순서를 분류하고, 정수 모듈러스를 갖는 $\mathbb{Q}$ 위의 아벨 곡면에 대해 유리 토판을 분류한 것으로, 11개의 후보 순서만 남기며, 그 중 가장 큰 것은 72이다.

ABSTRACT

We give a function F(d,n,p) such that if K/Q_p is a degree n field extension and A/K is a d-dimensional abelian variety with potentially good reduction, then #A(K)[tors] is at most F(d,n,p). Separate attention is given to the prime-to-p torsion and to the case of purely additive reduction. These latter bounds are applied to classify rational torsion on CM elliptic curves over number fields of degree at most 3, on elliptic curves over Q with integral j (recovering a theorem of Frey), and on abelian surfaces over Q with integral moduli. In the last case, our efforts leave us with 11 numbers which may, or may not, arise as the order of the full torsion subgroup. The largest such number is 72.

연구 동기 및 목표

• 잠재적으로 양호한 근사를 갖는 국소체 위의 아벨 다양체의 토판 부분군 크기에 대한 균일한 경계를 확립하기 위해.
• 메렐의 타원곡선에 대한 $\mathbb{Q}$ 위의 균일한 유계성 결과를 $p$-진 필드 위의 고차원 아벨 다양체로 확장하기 위해.
• 차수 3 이하의 수체 위의 CM 타원곡선에 대해 가능한 유리 토판 부분군 순서를 분류하기 위해.
• 정수 모듈러스를 갖는 $\mathbb{Q}$ 위의 아벨 곡면에 대해 전체 토판 부분군 순서의 가능한 값을 결정하고, 목록을 11개의 후보로 줄이기 위해.

제안 방법

• 유한체 위의 유리점 수에 대한 위르의 경계를 이용하여 $p$-외부 토판에 대한 경계를 유도한다. 특히 $\#A(K)[\operatorname{tors}]' \leq [(1+\sqrt{q})^{2d}]$.
• 잠재적으로 양호한 근사를 갖는 경우의 $p$-주요 토판을 분석하기 위해 니론 모델, 형식적 군, 구성 요소 군 이론을 적용한다.
• 차원 $d$, 확장도 $n$, 잔여 특성 $p$에 따라 전체 토판 부분군을 유계하는 함수 $F(d,n,p)$를 도입하며, 분비와 $p$-진 값매김 자료를 통합한다.
• 아벨 곡면의 가능한 제타 함수를 분류하기 위해 $\mathbb{F}_p$ 위의 위르 다항식의 구조를 사용한다. 유형 I(타원곡선의 곱), 유형 II(실 곱역), 유형 III(4차 CM 체)를 구분한다.
• 수체의 정수환 안에 있는 $j$-불변량으로 정의되는 정수 모듈러스 이론을 활용하여 고려 대상이 되는 아벨 다양체의 범주를 제한한다.
• 경계를 특정 사례에 적용한다: 차수 $\leq3$인 필드 위의 CM 타원곡선, 정수 $j$-불변량을 갖는 $\mathbb{Q}$ 위의 타원곡선, 정수 모듈러스를 갖는 $\mathbb{Q}$ 위의 아벨 곡면.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 잠재적으로 양호한 근사를 갖는 $p$-진 필드 위의 $d$차원 아벨 다양체에 대해, 차원 $d$, $n=[K:\mathbb{Q}_p]$, $p$에 대해 균일하게 유계지는 전체 토판 부분군의 최대 크기는 얼마인가요?
• RQ2 차수 3 이하의 수체 위의 CM 타원곡선에 대해 어떤 토판 부분군 순서가 나타날 수 있나요?
• RQ3 다음 11개의 후보 순서 중 어느 것이 실제로 $\mathbb{Q}$ 위의 정수 모듈러스를 갖는 아벨 곡면의 전체 토판 부분군 순서로 나타나나요? $11, 13, 14, 15, 22, 25, 28, 30, 48, 60, 72$
• RQ4 감마 근사가 순수하게 덧셈적일 경우, $p$-진 필드 위의 아벨 다양체의 토판 부분군은 균일하게 유계일 수 있나요?
• RQ5 $\mathbb{F}_p$ 위의 위르 다항식의 구조는 아벨 곡면 위의 유리점 순서에 대해 어떤 제약을 가집니까?

주요 결과

• 잠재적으로 양호한 근사를 갖는 $p$-진 필드 위의 $d$차원 아벨 다양체의 $p$-외부 토판 부분군은 잔여체 크기 $q$에 대해 $[(1+\sqrt{q})^{2d}]$로 유계된다.
• $p$-주요 토판의 경우, 경계는 $[(1+\sqrt{q})^{2d}]_{p} \cdot p^{fd[\frac{e}{p-1}]+2dm_{p}(2d)}$로 주어지며, 여기서 $e$는 절대 분비 지수이고 $m_p(2d)$는 $p$와 서로소인 $N$에 대해 $\#GL_{2d}(\mathbb{Z}/N\mathbb{Z})$의 $p$-진 값매김이다.
• 순수하게 덧셈적 근사를 갖는 경우, 토판 순서에 나누는 소수는 $\ell \leq 2d+1$에 국한되며, 전체 토판은 잔여 특성에 영향을 받지 않는 함수 $Z(d,e)$에 의해 유계진다.
• 차수 3 이하의 수체 위의 CM 타원곡선에 대해 가능한 토판 순서는 완전히 분류되었으며, 정수 모듈러스를 갖는 $\mathbb{Q}$ 위의 아벨 곡면에 대해 가능한 순서 목록은 11개의 후보로 줄어들었다.
• 정수 모듈러스를 갖는 $\mathbb{Q}$ 위의 아벨 곡면에 대해 전체 토판 부분군의 최대 순서는 72이며, 이 값은 실현 가능하거나 불가능할 수 있다.
• 논문은 $19$와 $20$의 순서가 각각 $J_1(13)$과 $J_1(16)$의 양태로 나타남을 확인하였으며, 순서 $1-4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 18, 24, 36$는 타원곡선의 곱이나 위르 제한으로부터 유도됨을 보였다.