[논문 리뷰] Bounds on Kolmogorov widths and sampling recovery for classes with small mixed smoothness

Vladimir Temlyakov, Tino Ullrich|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 17.

Mathematical Approximation and Integration참고 문헌 22인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $L_∞$ 노름에서 혼합 미분 순서가 작은 함수 클래스의 콜모고로프 너비에 대한 새로운 상계를 도출한다. 이는 이차 주파수 블록에 적용된 간단한 커팅 연산자를 사용하여 이루어지며, 이러한 상계는 특히 $L_2$ 최적 복원 및 마르친키에비치 유형 이산화에 대해 향상된 샘플링 복원 및 수치 적분 오차 추정치를 암시한다.

ABSTRACT

Results on asymptotic characteristics of classes of functions with mixed smoothness are obtained in the paper. Our main interest is in estimating the Kolmogorov widths of classes with small mixed smoothness. We prove the corresponding bounds for the unit balls of the trigonometric polynomials with frequencies from a hyperbolic cross. We demonstrate how our results on the Kolmogorov widths imply new upper bounds for the optimal sampling recovery in the $L_2$ norm of functions with small mixed smoothness.

연구 동기 및 목표

• 초기 주파수를 갖는 삼각 다항식 부분공간의 콜모고로프 너비에 대한 날카운 상계를 유도하기 위해.
• $L_2$ 노름에서 콜모고로프 너비와 최적 샘플링 복원 간의 관계를 설정하기 위해.
• 혼합 미분 순서가 작은 클래스에서의 수치 적분 오차에 대한 새로운 추정치를 제공하기 위해.
• 하이퍼볼릭 크로스 다항식에 대한 기존의 엔트로피 수 상계에 대한 간단한 대체 증명을 제공하기 위해.
• 기존의 고전적 큰 미분 순서 결과를 초월해 새로운 기법이 필요한 혼합 미분 순서가 작은 문제에 도전하기 위해.

제안 방법

• $\mathcal{T}(Q_n)$, 즉 하이퍼볼릭 크로스 $Q_n$ 내 주파수를 갖는 삼각 다항식의 공간에서 함수의 주파수 블록에 이차 커팅 연산자를 적용하기 위해.
• 하이퍼볼릭 크로스의 구조를 활용하여 니콜스키 유형 부등식을 사용해 $L_\infty$ 노름을 $L_p$ 노름으로 제어하기 위해.
• 칼의 부등식을 사용해 콜모고로프 너비를 엔트로피 수와 연결하여 상계를 이전에 전달하기 위해.
• 혼합 미분 순서 클래스 $\mathbf{W}^r_p$ 에 대한 상계를 하이퍼볼릭 크로스 다항식 부분공간과의 관계를 통해 유도하기 위해.
• 기존의 샘플링 이산화 및 마르친키에비치 정리 결과를 활용해 엔트로피 수 및 너비 상계를 실용적인 복원 및 적분 기법과 연결하기 위해.
• 기존의 깊은 함수해석학적 방법과 대비하여, 기존의 엔트로피 수 상계에 대한 자가 포함된 간단한 증명을 제공하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $L_\infty$ 노름에서 하이퍼볼릭 크로스 내 주파수를 갖는 삼각 다항식 부분공간의 최적 상계는 무엇인가요?
• RQ2 이러한 너비 상계는 $L_2$ 노름에서 최적 샘플링 복원의 오차 추정치로 어떻게 전환되나요?
• RQ3 동일한 상계를 사용해 혼합 미분 순서가 작은 클래스에서의 수치 적분 오차 추정치를 향상시킬 수 있나요?
• RQ4 기존의 깊은 함수해석학적 접근 방식과 비교해 하이퍼볼릭 크로스 다항식에 대한 기존 엔트로피 수 상계에 대한 더 단순한 증명이 존재합니까?
• RQ5 혼합 미분 순서가 작은 경우, 너비 및 복원 오차가 미분 순서 $r$, 차원 $d$, 샘플 수 $m$ 에 따라 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• $2 \leq p < \infty$ 에 대해, 콜모고로프 너비는 $d_m(\mathcal{T}(Q_n)_p, L_\infty) \leq C(p,d)(2^n/m)^{1/p} n^{(d-1)(1-1/p)+1/p}$ 를 만족하며, 이는 하이퍼볼릭 크로스 부분공간에 대해 날카로운 상계를 제공한다.
• $1/p < r < 1/2$ 이고 $2 < p \leq \infty$ 이면, 혼합 미분 순서 클래스 $\mathbf{W}^r_p$ 에 대해 너비는 $d_m(\mathbf{W}^r_p, L_\infty) \leq C(p,d,r) m^{-r} (\log m)^{(d-2)(1-r)+1}$ 를 만족한다.
• 경계 사례인 $r = 1/2$ 에서는 상한이 $d_m(\mathbf{W}^{1/2}_p, L_\infty) \leq C(p,d) m^{-1/2} (\log m)^{d/2} (\log \log m)^{3/2}$ 로 주어진다.
• 이러한 너비 상한은 $L_2$ 노름에서 최적 샘플링 복원에 대한 새로운 상계를 암시하며, 기존에 알려진 최고의 결과와 일치하는 오차율을 제공한다.
• 결과적으로 수치 적분 오차 추정치가 향상되며, $1/p < r < 1/2$ 에 대해 $\kappa_m(\mathbf{W}^r_p) \asymp m^{-r} (\log m)^{(d-1)/2}$ 를 만족하며, 기존 하한과 일치한다.
• 기존의 깊은 함수해석학적 방법과 대비해, 이전에 깊은 함수해석학을 통해 도출된 바 있는 엔트로피 수 상한 $\varepsilon_k(\mathcal{T}(Q_n)_p, L_\infty) \ll (|Q_n|/k)^{1/p} n^{(d-1)(1-2/p)+1/p}$ 에 대한 간단한 증명이 제시된다.