[논문 리뷰] BPS Lie algebras and the less perverse filtration on the preprojective CoHA

Ben Davison|arXiv (Cornell University)|2020. 07. 07.

Advanced Topics in Algebra참고 문헌 46인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 전프로젝티브 CoHA의 Borel–Moore 호몰로지에 대한 새로운 악성 필터를 도입한다. 이 필터는 유도된 직접 이미지의 순수성과 함께, 쌍대화된 혼합 호지 모듈의 유도된 직접 이미지의 순수성에 기반한다. 이 필터의 제로번째 조각은 BPS 리 대수의 보편적 포함 대수로 식별되며, 준정적 모듈의 교차 호몰로지가 BPS 리 대수의 모든 단순 쌍곡 루트를 추측적으로 실현하는 '순수 코homology'를 제공한다. 이는 기대되는 보르처스 대수임이 예상된다.

ABSTRACT

The affinization morphism for the stack $\mathfrak{M}(Π_Q)$ of representations of a preprojective algebra $Π_Q$ is a local model for the morphism from the stack of objects in a general 2-Calabi-Yau category to the good moduli space. We show that the derived direct image of the dualizing complex along this morphism is pure, and admits a decomposition in the sense of the Beilinson-Bernstein-Deligne-Gabber decomposition theorem. We introduce a new perverse filtration on the Borel-Moore homology of $\mathfrak{M}(Π_Q)$, using this decomposition. We show that the zeroth piece of the resulting filtration on the cohomological Hall algebra built out of the Borel-Moore homology of $\mathfrak{M}(Π_Q)$ is isomorphic to the universal enveloping algebra of an associated BPS Lie algebra $\mathfrak{g}_{Π_Q}$. This Lie algebra is defined via the Kontsevich-Soibelman theory of critical cohomological Hall algebras for 3-Calabi-Yau categories. We then lift this Lie algebra to a Lie algebra object in the category of perverse sheaves on the coarse moduli space of $Π_Q$-modules, and use this algebra structure to prove results about the summands appearing in the above decomposition theorem. In particular, we prove that the intersection cohomology of singular spaces of semistable $Π_Q$-modules provide "cuspidal cohomology" - a conjecturally complete subspace of canonical generators for $\mathfrak{g}_{Π_Q}$.

연구 동기 및 목표

• 전프로젝티브 대수 표현의 스택의 Borel–Moore 호몰로지에 대한 새로운 악성 필터를 정의한다. 이는 쌍대화된 혼합 호지 모듈의 유도된 직접 이미지의 순수성에 기반한다.
• 이 필터의 제로번째 조각이 전프로젝티브 CoHA와 관련된 BPS 리 대수의 보편적 포함 대수로 식별됨을 보인다.
• 준정적 모듈의 교차 호몰로지가 BPS 리 대수에 대해 '순수 코호몰로지'를 제공하며, 이는 모든 단순 쌍곡 루트를 추측적으로 실현한다.
• BPS 리 대수가 보르처스 대수임을 추측하며, 생성자는 안정적 및 등방성 준정적 모듈에서 유래된다고 제안한다.

제안 방법

• 유도된 직접 이미지가 캐릭터리스틱 모듈러스 공간으로의 유도된 직접 이미지에 대해 순수함을 증명함으로써, 분해 정리를 가능하게 한다.
• 타이트 오브젝트로 휘어진 유도된 푸시포워드를 통해 CoHA를 그레디에이티드 대수로 구성한다.
• 유도된 푸시포워드의 순수 성분들의 코homological 차수를 필터링하여 Borel–Moore 호몰로지에 새로운 악성 필터를 정의한다.
• 분해 정리를 사용하여 CoHA의 구조를 캐릭터리스틱 모듈러스 공간 위의 교차 호몰로지 층과 연결한다.
• BPS 리 대수의 구면 리 부분대수는 Q의 실수 부분쿼버에 관련된 카크-무디 대수의 절반을 포함한다.
• 전체 BPS 리 대수가 보르처스 대수임을 추측하며, 생성자는 안정적 및 등방성 준정적 코호몰로지 클래스에서 유도된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전프로젝티브 대수 표현 스택의 Borel–Moore 호몰로지의 구조는 무엇이며, 기하학적 및 호지이론적 자료를 통해 어떻게 필터링될 수 있는가?
• RQ2 전프로젝티브 모듈의 스택 위에서 쌍대화된 혼합 호지 모듈의 유도된 직접 이미지는 캐릭터리스틱 모듈러스 공간의 기하학과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 준정적 모듈의 교차 호몰로지가 BPS 리 대수의 단순 루트를 실현하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 전프로젝티브 CoHA와 관련된 BPS 리 대수는 안정적 및 등방성 준정적 표현에서 유래된 생성자들을 통해 보르처스 대수로 실현될 수 있는가?
• RQ5 새로운 악성 필터는 CoHA의 구조를 어떻게 정교화하며, 카크-무디 및 보르처스 대수의 표현 이론과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 유도된 직접 이미지가 캐릭터리스틱 모듈러스 공간으로의 유도된 직접 이미지에 대해 순수하므로, CoHA는 순수 무게 성분으로 분해된다.
• Borel–Moore 호몰로지에 대한 새로운 악성 필터의 제로번째 조각은 BPS 리 대수 $\mathfrak{g}_{\Pi_Q}$의 보편적 포함 대수와 동형이다.
• $\mathfrak{g}_{\Pi_Q}$의 구면 리 부분대수는 $Q$의 실수 부분쿼버에 관련된 카크-무디 리 대수의 절반을 포함하며, 이는 카크-무디 구조의 기하학적 실현을 제공한다.
• 전프로젝티브 $\Pi_Q$-모듈의 준정적 공간의 교차 호몰로지는 $\mathfrak{g}_{\Pi_Q}$에 대해 '순수 코호몰로지'를 제공하며, 추측적으로 모든 단순 쌍곡 루트를 포함하는 완전한 공간을 이룬다.
• BPS 리 대수 $\mathfrak{g}_{\Pi_Q}$는 보르처스 대수로 추측되며, 생성자는 안정적 및 등방성 준정적 표현에서 유래된다.
• 이 추측은 쿼버에 대한 보체크-슐리프만 추측을 함의하며, 순수 코호몰로지의 기하학적 해석을 교차 호몰로지 층을 통해 제공한다.