[논문 리뷰] Breaking the uniqueness of the Shape Dynamics Hamiltonian

Henrique Gomes|arXiv (Cornell University)|2012. 01. 19.

Protein Structure and Dynamics참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 특정 물질 장이나 진공 에너지가 포함된 경우, 형태 역학(Shape Dynamics)의 전역 해밀토니안이 유일하지 않음을 보여준다. 이는 기저이 되는 미분 연산자가 비자명한 핵을 가지기 때문이다. 단일 해밀토니안이 아닌, 약하게 교환되는 전역 해밀토니안의 유한 집합이 이론에 허용되며, 국소적 등각 대칭성이 유지되면서도 릭너로비츠 유형의 방정식에 은둔 함수 정리(implicit function theorem)를 적용하여 진공이 아닌 경우로 이론의 프레임워크를 확장한다.

ABSTRACT

In earlier works on Shape Dynamics (SD), a linear method of solving a particular set of Lichnerowicz-type equations through the implicit function theorem was developed in order to implicitly construct SD's global Hamiltonian and eliminate second class constraints. This method was later used for extending Shape Dynamics (SD) to the non-vacuum case, showing how other fields are coupled to the theory. In that study it was found that unlike the vacuum case the use of such methods yielded puzzling bounds on the density of some types of fields. Here we show that the original SD cannot be extended beyond such bounds, but that a slight modification of the original can withstand any type of coupling. When the bound is broken, the theory does not come equipped with a single Hamiltonian as in vacuum SD, but with a finite set of weakly commuting Hamiltonians, which we describe.

연구 동기 및 목표

• 물질 장이나 진공 에너지가 포함된 비진공 시스템으로 확장할 때 원래 형태 역학 구성의 붕괴를 해결하기 위해.
• 원래 선형 방법으로 해밀토니안 구성이 무효화되는 수학적 장벽—미분 연산자의 선형 항이 양수가 아닐 경우—을 규명하기 위해.
• 유일성이 상실됨에도 불구하고, 다수의 상호 호환 가능한 전역 해밀토니안을 允許함으로써 일관된 형태 역학 이론이 여전히 존재할 수 있음을 보여주기 위해.
• 스투켈베르그 장과 물질에 의해 수정된 미분 연산자의 핵이 독립적인 시간 진화 생성자 수를 결정하는 데서 수행하는 역할를 명확히 하기 위해.
• 은둔 함수 정리(implicit function theorem)를 사용하여 비진공 형태 역학에 대한 견고한 프레임워크를 확립하고, 제약 방정식의 국소적 해법 가능성(지속 가능성)을 보장하기 위해.

제안 방법

• 확장된 위상공간에서 발생하는 제2종 제약에 기인한 리히너로비츠-요르타입 방정식을 해결하기 위해 은둔 함수 정리를 적용한다.
• canonical 변환과 스투켈베르크 메커니즘을 사용하여 보조 스칼라 장과 그 쌍대 운동량을 포함하여 ADM 위상공간을 확장한다.
• 스칼라 제약을 역행 가능한 파oisson 괄호를 갖는 부분들로 분해하여 제2종 제약을 분리하고 제거한다.
• 물질에 의해 수정된 미분 연산자 $\Delta_{\text{matter}}$의 핵을 분석하여 라프스 함수에 대한 독립적 해의 수를 결정한다.
• $\Delta_{\text{matter}}$의 핵의 차원에 해당하는 유한한 수의 전역 해밀토니안을 구성하며, 이들이 약하게 교환되도록 보장한다.
• 미분 연산자의 타원성(ellipticity)을 이용하여 비진공 경우의 제약 체계의 국소적 해법 가능성과 잘 정의된 성질을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 물질 장이나 진공 에너지가 포함될 경우 형태 역학 해밀토니안의 유일성은 어떻게 변화하는가?
• RQ2 미분 연산자의 선형 항이 양수가 아닐 경우, 제약 체계의 해법 가능성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 원래 해밀토니안이 더 이상 유일하지 않더라도 비진공 경우에 일관된 형태 역학 이론을 여전히 구성할 수 있는가?
• RQ4 시간 진화의 맥락에서 다수의 약하게 교환되는 전역 해밀토니안의 물리적 해석은 무엇인가?
• RQ5 비진공 이론에서 독립적인 시간 진화 생성자의 수를 결정하는 연산자 $\Delta_{\text{matter}}$의 핵은 어떻게 작용하는가?

주요 결과

• 물질 결합으로 인해 미분 연산자의 선형 항이 음수 또는 0이 되면, 원래 형태 역학 구성은 전역 해밀토니안의 유일성을 상실한다.
• 비진공 경우에서 약하게 교환되는 전역 해밀토니안의 수는 라프스 함수 해를 지배하는 연산자 $\Delta_{\text{matter}}$의 핵의 차원 $n$과 같다.
• 유일성 상실에도 불구하고 이론은 일관되며, ADM 중력 이론과 역학적으로 동치이며 국소적 등각 대칭성이 유지된다.
• 은둔 함수 정리는 리히너로비츠 유형 방정식의 국소적 해법 가능성에 대한 선형 기준을 제공하며, 레라-샤우더 이론과 같은 비선형 방법의 필요성을 제거한다.
• 스투켈베르그 장 $\phi$와 라프스 해 $N_i$는 더 이상 일대일 대응이 아니며, 대신 핵의 구조가 독립적 감소 수를 결정한다.
• ADM 해를 중심으로 한 섭동 분석에서도 물리적 해에서는 여전히 $\phi_o = 0$을 얻을 수 있으며, 이는 비진공 형태 역학 해의 체계적 구성에 기여한다.