[논문 리뷰] Brown representability in $\A^1$-homotopy theory

Niko Naumann, Markus Spitzweck|ArXiv.org|2009. 09. 10.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 11인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $S$가 노에테르 스킴이고 유한한 크룰 차원을 가지며, 유한형의 매끄러운 $S$-스킴이 가чёт한 경우, 안정 $Å^1$-호모토피 범주 $\mathrm{SH}(S)$에서 브라운 표현 가능성을 확립한다. 이 조건 하에서 $\mathrm{SH}(S)$의 컴팩트 객체 범주가 가чёт함을 증명함으로써, $Å^1$-호모토피 이론에서 코homology 이론의 표현 가능성을 보장하는 기초 결과를 제공한다.

ABSTRACT

We prove the following result of V. Voevodsky. If $S$ is a finite dimensional noetherian scheme such that $S=\cup_α\Spec(R_α)$ for {\em countable} rings $R_α$, then the stable motivic homotopy category over $S$ satisfies Brown representability.

연구 동기 및 목표

• 노에테르 스킴이고 유한한 크룰 차원을 가지는 $S$에 대해 안정 $Å^1$-호모토피 범주 $\mathrm{SH}(S)$에서 브라운 표현 가능성을 확립하는 것.
• 매끄러운 $S$-스킴의 유한형 범주 $Sm/S$가 가zähl수일 경우, 컴팩트 객체의 전체 부분범주 $\mathrm{SH}(S)^c$가 가zähl수임을 보이는 것.
• 불안정한 유한성 결과를 사용하여 보에보츠키의 $Å^1$-호모토피 이론에서 브라운 표현 가능성에 대한 비공식 결과를 증명하는 것.
• 안정 $\mathrm{SH}(S)$에서 브라운 표현 가능성을 전면적으로 활용하여 새로운 모티빅 스펙트럼을 구성하는 데 기초를 마련하는 것.

제안 방법

• S 위의 점을 가진 모티빅 공간의 범주에 대해 거의 유한 생성되고 모노이드인 모델 구조를 구성함으로써, 점별로 풀리지 않는 모델 구조의 왼쪽 보우스필드 국소화를 사용하는 것.
• 이 모델 구조를 통해 점을 가진 모티빅 공간의 호모토피 범주 ${\mathrm{H}}_{\bullet}(S)$가 통제 가능한 프라임 프로젝션 함수를 갖는다고 증명하는 것.
• 불안정한 유한성 결과 확립: $Sm/S$가 가zähl수이면, 유한형 $(X,x)$와 절편별로 가zähl수인 $F$에 대해 $|{\mathrm{H}}_{\bullet}(S)((X,x),F)|$의 호모토피 클래스 집합이 가zähl수임을 보이는 것.
• 핵심 동형식 증명: ${\mathrm{SH}}(S)(\Sigma^\infty_{{\mathbb{P}}^1}(X,x),E) \simeq \mathrm{colim}_n {\mathrm{H}}_{\bullet}(S)(({\mathbb{P}}^1,\infty)^{\wedge n} \wedge (X,x), E_n)$, 안정 사상과 불안정 사상 간의 연결.
• Sm/S의 가수성과 $E_n$의 절편별 가수성을 이용하여, 모든 컴팩트 $F$와 ${\mathbb{P}}^1$-스펙트럼 $E$에 대해 $E^{p,q}(F) = {\mathrm{SH}}(S)(F, \Sigma^{p,q}E)$가 가zähl수임을 보이는 것.
• 삼각형 범주에서 표준적인 추론을 적용하여, $\mathrm{SH}(S)^c$가 확장과 이동에 의해 생성되는 가산 수의 컴팩트 객체 집합에 의해 생성되므로 가산수임을 결론 내리는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 노에테르 스킴이고 유한한 크룰 차원을 가지며 $Sm/S$가 가산수일 경우, 안정 $Å^1$-호모토피 범주 $\mathrm{SH}(S)$에서 브라운 표현 가능성이 성립하는가?
• RQ2 동일한 가정 하에 컴팩트 객체의 범주 $\mathrm{SH}(S)^c$가 가산수임을 보일 수 있는가?
• RQ3 모든 컴팩트 $F$와 ${\mathbb{P}}^1$-스펙트럼 $E$에 대해, 사상 집합 $\mathrm{SH}(S)(F, \Sigma^{p,q}E)$가 가산수임을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ4 모티빅 호모토피 이론에서의 불안정한 유한성 결과는 안정 설정에서의 유한성을 어떻게 활용할 수 있는가?
• RQ5 프라임 프로젝션 함수는 모티빅 공간에서 호모토피 집합의 기수를 통제하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• $Sm/S$가 가산수일 경우, $S$가 노에테르 스킴이고 유한한 크룰 차원을 가지는 조건 하에서 안정 $Å^1$-호모토피 범주 $\mathrm{SH}(S)^c$는 가산수이다.
• 모든 유한형의 점을 가진 모티빅 공간 $(X,x)$와 $\Delta^{op}\mathrm{Pre}(Sm/S)_{\bullet}$ 내의 절편별로 가산수인 $F$에 대해, 호모토피 클래스 집합 $|{\mathrm{H}}_{\bullet}(S)((X,x),F)|$는 가산수이다.
• ${\mathrm{SH}}(S)(\Sigma^\infty_{{\mathbb{P}}^1}(X,x),E)$의 사상 공간은 열린 극한 $\mathrm{colim}_n {\mathrm{H}}_{\bullet}(S)(({\mathbb{P}}^1,\infty)^{\wedge n} \wedge (X,x), E_n)$과 동형이며, 안정적과 불안정적 호모토피 집합을 연결한다.
• 모든 ${\mathbb{P}}^1$-스펙트럼 $E$에 대해 $E_n$이 절편별로 가산수이면, 모든 컴팩트 $F \in \mathrm{SH}(S)^c$에 대해 아벨 군 $E^{p,q}(F) = {\mathrm{SH}}(S)(F, \Sigma^{p,q}E)$는 가산수이다.
• $\mathrm{SH}(S)^c$는 확장과 이동에 의해 생성되는 가산 집합 $\mathcal{G} = \{\Sigma^{p,q}\Sigma^\infty_{{\mathbb{P}}^1}U_+ \mid U \in Sm/S, p,q \in \mathbb{Z}\}$에 의해 생성되므로 가산수이다.
• 이 증명은 점을 가진 모티빅 공간 위의 거의 유한 생성 모델 구조에서 통제 가능한 프라임 프로젝션 함수에 의존하며, 이는 호모토피 집합의 가수성을 보장한다.