[논문 리뷰] BSDEs with no driving martingale, Markov processes and associated Pseudo Partial Differential Equations. Part II: Decoupled mild solutions and Examples

Adrien Barrasso, Francesco Russo|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 구동 마링갈이 없는 시간 비균일 마코프 과정에 의해 구동되는 반선형 가짜-미분방정식(pseudo-PDEs)에 대해 분리된 온건한 해(decoupled mild solutions)의 개념을 도입한다. 분리된 온건한 해와 마링갈 해(martingale solutions) 사이의 등가성을 확립하고, 적절한 조건 하에서 존재성과 유일성을 증명하며, 이 해들이 구동 마링갈이 없는 전진-후진 SDEs(forward-backward SDEs)와 연결됨을 보이며, 생성자(generator)가 국소적 PDE 연산자가 아닐 경우 점도 해( viscosity solutions)에 대한 강력한 분석적 대안을 제공한다.

ABSTRACT

Let $(\mathbb{P}^{s,x})_{(s,x)\in[0,T] imes E}$ be a family of probability measures, where $E$ is a Polish space,defined on the canonical probability space ${\mathbb D}([0,T],E)$ of $E$-valued cadlag functions. We suppose that a martingale problem with respect to a time-inhomogeneous generator $a$ is well-posed. We consider also an associated semilinear {\it Pseudo-PDE} with generator $a$ for which we introduce a notion of so called {\it decoupled mild} solution and study the equivalence with the notion of martingale solution introduced in a companion paper. We also investigate well-posedness for decoupled mild solutions and their relations with a special class of BSDEs without driving martingale. The notion of decoupled mild solution is a good candidate to replace the notion of viscosity solution which is not always suitable when the map $a$ is not a PDE operator.

연구 동기 및 목표

• 시간 비균일 마코프 과정과 관련된 반선형 가짜-미분방정식(pseudo-PDEs)에 대해 새로운 분석적 해 개념인 분리된 온건한 해를 도입하는 것.
• 동반 논문에서 정의된 마링갈 해와의 분리된 온건한 해 사이의 등가성을 확립하는 것.
• 생성자와 종료 조건에 대한 적절한 정규성 및 적분 가능성 조건 하에서 분리된 온건한 해의 존재성과 유일성을 증명하는 것.
• 분리된 온건한 해와 구동 마링갈이 없는 전진-후진 SDEs 사이의 관계를 명확히 하는 것, 특히 비마코프 및 비브라운 프레임워크에서의 적용을 중심으로 한다.
• 생성자 연산자가 국소적 PDE 연산자가 아닐 경우, 특히 퇴색하거나 비확산적 설정에서 점도 해에 대한 실현 가능한 대안을 제공하는 것.

제안 방법

• 기본 틀은 시간 비균일 생성자와 함께 작동하는 마코프 과정의 법칙을 나타내는 캐들라주 경로의 표준 공간과 가족 확률 측도 $(\mathbbm{P}^{s,x})_{(s,x)\in[0,T]\times E}$에 기반한다.
• 형태 $a(u) + f(\cdot,\cdot,u,\Gamma(u)^{1/2}) = 0$의 가짜-미분방정식과 종료 조건 $u(T,\cdot) = g$를 연구하며, 여기서 $\Gamma(u)$는 carré du champ 연산자이다.
• 생성자 $a$와 관련된 시간에 의존하는 전이 핵심을 사용하여 분리된 온건한 해를 정의함으로써, PDE 해에 대한 확률론적-해석적 다리를 구축한다.
• 조건부 기대의 철저한 분석과 확장된 연산자 $\mathfrak{a}$ 및 $\mathfrak{G}$의 사용을 통해 분리된 온건한 해와 마링갈 해 사이의 등가성을 증명한다.
• 적절한 함수 공간에서 고정점 정리에 기반하여 존재성과 유일성을 확립하며, 마링갈 문제의 잘 정의됨과 생성자 및 그 도함수의 유계성에 의존한다.
• 구동 마링갈이 없는 전진-후진 SDEs와의 연결은 $u(s,x) = Y^{s,x}_s$가 분리된 온건한 해를 정의함을 보여줌으로써 체계화된다. 여기서 $Y^{s,x}$는 $Y_t = g(X_T) + \int_t^T f(r,X_r,Y_r,\sqrt{d\langle M^{s,x}\rangle_r/dr})dr - (M_T^{s,x} - M_t^{s,x})$ 형태의 FBSDE를 만족한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 생성자 연산자가 국소적 PDE 연산자가 아닐 경우, 가짜-미분방정식에 대해 새로운 분석적 해 개념을 정의할 수 있는가?
• RQ2 구동 마링갈이 없는 상황에서 분리된 온건한 해의 개념이 마링갈 해의 확률론적 개념과 등가인가?
• RQ3 어떤 조건 하에서 분리된 온건한 해가 존재하고 유일한가?
• RQ4 분리된 온건한 해는 구동 마링갈이 없는 전진-후진 SDEs와 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 생성자 연산자가 국소적 PDE 연산자가 아닐 경우, 특히 퇴색하거나 비확산적 설정에서 분리된 온건한 해가 점도 해의 실현 가능한 대안이 될 수 있는가?

주요 결과

• 구동 마링갈이 없는 시간 비균일 마코프 과정에 의해 구동되는 반선형 가짜-미분방정식에 대해 분리된 온건한 해의 개념이 잘 정의된 분석적 해 개념으로 도입되었다.
• 마링갈 문제의 생성자 $a$에 대해 잘 정의되어 있다는 가정 하에, 분리된 온건한 해가 마링갈 해와 등가임이 증명되었다.
• 생성자 $f$와 종료 조건 $g$가 유계이면서 충분히 정규적인 경우, 적절한 적분 가능성 및 정규성 조건 하에서 분리된 온건한 해의 존재성과 유일성이 확립되었다.
• 구동 마링갈이 없는 FBSDE의 해 $u(s,x) = Y^{s,x}_s$가 관련된 가짜-미분방정식의 분리된 온건한 해임이 입증되었다.
• 생성자 $a$가 국소적 PDE 연산자가 아닐 경우, 특히 비확산적 또는 퇴색한 설정에서 점도 해에 대한 강력한 분석적 대안을 제공한다.
• 등가성의 증명은 피보니우스 정리(Fubini’s theorem)를 통한 시간 도함수와 생성자 도함수의 교환 가능성 및 생성자 $a$와 $\Gamma$를 더 큰 정의역으로 확장하는 연산자 $\mathfrak{a}$ 및 $\mathfrak{G}$의 사용에 기반한다.