[논문 리뷰] BSDEs with random default time and their applications to default risk

Shigē Péng, XU Xiao-ming|ArXiv.org|2009. 10. 12.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 17인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 확률적 파산 시점을 가진 파생상품 시장에서 브라운 운동과 파산 마팅글레에 의해 구동되는 후행 확률 미분 방정식(BSDE)의 해가 존재하고 유일함을 증명하며, 모델 불확실성 하에서의 강건한 가격 결정에 응용한다. 비교 정리를 증명하고, 이 결과를 파산 위험 하에서의 제로섬 스토케스틱 미분 게임에서의 안장점 전략 유도에 적용한다.

ABSTRACT

In this paper we are concerned with backward stochastic differential equations with random default time and their applications to default risk. The equations are driven by Brownian motion as well as a mutually independent martingale appearing in a defaultable setting. We show that these equations have unique solutions and a comparison theorem for their solutions. As an application, we get a saddle-point strategy for the related zero-sum stochastic differential game problem.

연구 동기 및 목표

• 랜덤 파산 시점이 있는 BSDE를 사용하여 금융 시장에서의 파산 위험을 모델링하는 데 도전하는 것.
• 확대된 필터링 하에서 브라운 운동과 파산 관련 마팅글레에 의해 구동되는 BSDE의 해가 존재하고 유일함을 확립하는 것.
• 해당 BSDE의 해에 대한 비교 정리를 개발하여, 다양한 리스크 시나리오 간의 비교 분석을 가능하게 하는 것.
• 이론적 결과를 모델 불확실성 하에서의 파생상품 평가에 적용하여, 특히 불완전하거나 모호한 시장에서의 강건한 평가를 가능하게 하는 것.
• 제안된 BSDE 프레임워크를 활용하여 파산 위험이 있는 맥락에서의 제로섬 스토케스틱 미분 게임에 대한 안장점 전략을 도출하는 것.

제안 방법

• 확대된 필터링 G = F ∨ H 하에서 브라운 운동 B와 파산 마팅글레 M에 의해 구동되는 랜덤 파산 시점 τ를 가진 BSDE를 수립한다.
• F-위험 과정 Γ와 그 강도 과정 γ를 도입하여 파산 시점 τ가 F-정지시간이 아니라고 보장하고, 파산 마팅글레 M_t = H_t - Γ_{t∧τ}를 구성한다.
• 쿠수카의 마팅글레 표현 정리를 적용하여, 임의의 G-제곱 적분 가능한 마팅글레를 B와 M에 대한 스트로크 적분의 합으로 표현한다.
• 지르산프 정리를 적용하여 역사적 확률 측도 P에서 위험 중립 측도 Q로 측도를 전환하고, 다양한 시나리오 하에서 공정 가격을 도출한다.
• 비선형 BSDE의 일반 형태를 유도한다: Y_t = ξ + ∫_t^T g(s,Y_s,Z_s,ζ_s)ds - ∫_t^T Z_s dB_s - ∫_t^T ζ_s dM_s이며, 생성자 g는 모델 모호성을 반영한다.
• 생성자 g와 종료 조건 ξ에 적절한 조건 하에서 비교 정리를 확립하여, 종료 값과 생성자 행동에 기반한 해의 순서를 유지할 수 있도록 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 랜덤 파산 시점과 두 개의 독립적인 마팅글레(브라운 운동과 파산 마팅글레)에 의해 구동되는 후행 확률 미분 방정식이 어떤 조건에서 유일한 해를 가질 수 있는가?
• RQ2 생성자와 종료 조건이 반드시 순서가 정해지지 않은 경우, 이러한 BSDE의 해에 대한 비교 정리를 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 위험 과정과 강도 과정이 BSDE 프레임워크 내에서 파산 위험을 특성화하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 랜덤 파산 시점이 있는 BSDE 이론은 모델 불확실성 하에서 어떻게 강건한 가격 결정에 응용될 수 있는가? 특히 위험 중립 측도가 모호한 경우에 대해 설명하라.
• RQ5 제안된 BSDE 설정을 사용하여 파산 가능 시장에서의 제로섬 스토케스틱 미분 게임에 대해 안장점 전략을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 생성자의 표준 적분 가능성 및 리프시츠 조건을 만족할 경우, 브라운 운동과 파산 마팅글레에 의해 구동되는 랜덤 파산 시점이 있는 BSDE는 유일한 해를 가진다.
• 해의 비교 정리가 확립되어, 종료 조건과 생성자가 특정 순서를 만족할 경우, 해당 해들이 거의 확실히 동일한 순서를 유지함을 보여준다.
• 생성자 g(s, y, z, ζ) = sup_{(u,v,w)∈Θ} (u y + v z + w ζ)는 위험 중립 측도에서의 모델 모호성을 반영하며, 슈퍼헤징을 통한 강건한 가격 결정을 이끈다.
• 모델 불확실성 하에서 파생상품 ξ의 공정 가격은 상한 가격 Y_0^* = sup_{θ∈Θ} E_{P_θ}[ξ]로 주어지며, 이는 비선형 BSDE의 해에 해당한다.
• BSDE의 해는 제로섬 스토케스틱 미분 게임에 대한 안장점 전략을 유도하며, 가치 함수는 악성 상황에서의 생성자를 가진 BSDE의 해로 특성화된다.
• 지르산프 정리를 적용하여 측도를 전환함으로써 원래의 브라운 운동과 파산 마팅글레가 새로운 측도 하에서 브라운 운동과 마팅글레로 유지되도록 하며, BSDE의 구조를 유지한다.